Question

[My Nè]

khá hay :)))

Cho hình thoi ABCD. Điểm M di động trên cạnh CD (đường thẳng CD cũng được). Đường thẳng BM cắt đường thẳng AC và AD lần lượt tại G và E; đường thẳng AM cắt CE tại F. Chứng minh đường thẳng GF luôn đi qua một điểm cố định khi M di động

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

bài này sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt là ra nha. mình nói hướng làm

gọi Q là giao điểm của FG với BD. Ta chứng minh Q cố định bằng cách xác định tỉ số mà Q chia đoạn thẳng BD. Muốn xác định được tỉ số này ta cần bổ sung thêm H là giao điểm của đường tròn FG với đường thẳng AD (trường hợp đặc biệt là M trùng với điểm của cạnh CD, lúc đó FG với đường thẳng AD và ta dễ dàng xác định tỉ số cần tìm)

đặt độ dài cạnh hình thoi là a và đặt x=MD/MC. do tam giác MDE đồng dạng với tam giác MCB nên ta tính được DE=ax, AE=a(x+1), GA/GC=GE/GB=x+1

sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt trong tam giác CDE với cát tuyến AF, ta có:

\(\frac{FC}{FE}\cdot\frac{AE}{AD}\cdot\frac{MD}{MC}=1\Rightarrow\frac{FC}{FE}\cdot\left(x+1\right)x=1\Rightarrow\frac{FC}{FE}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}\)

áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt trong tam giác ACE với cát tuyến GH ta có

\(\frac{HE}{HA}\cdot\frac{GA}{GC}\cdot\frac{FC}{FE}=1\Rightarrow\frac{HE}{HA}\left(x+1\right)\cdot\frac{1}{x\left(x+1\right)}=1\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HA}=x\Rightarrow\frac{HE}{HA-HE}=\frac{1}{1-x}\Rightarrow\frac{HE}{AE}=\frac{x}{1-x}\)

\(\Rightarrow HE=\widehat{CFN}=90^o-\widehat{FCI}\), suy ra:

\(\frac{HE}{HE+DE}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)+\left(1-x\right)}\Rightarrow\frac{HE}{HD}=\frac{x+1}{2}\)

áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt trong tam giác BDE với cát tuyến QH, ta có

\(\frac{QD}{QB}\cdot\frac{GB}{GE}\cdot\frac{HE}{HD}=1\Rightarrow\frac{QD}{QB}\cdot\frac{1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2}=1\)

như vậy Q chính là trọng tâm của tam giác ABC và đường thẳng FG luôn qua Q cố định