K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 11 2019

Nguyễn Việt Lâm

21 tháng 11 2019

bổ sung đề

với f không giảm

tính f\(\left(\frac{1}{n}\right)\) với n∈\(\left\{1;2;3;....;20\right\}\)

NV
30 tháng 8 2020

Thay \(y=0\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(0\right)\Rightarrow f\left(0\right)=0\)

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)-x^2\Rightarrow g\left(0\right)=0\)

\(g\left(x+y\right)=f\left(x+y\right)-\left(x+y\right)^2=f\left(x\right)+f\left(y\right)+2xy-\left(x+y\right)^2\)

\(=\left[f\left(x\right)-x^2\right]+\left[f\left(y\right)-y^2\right]=g\left(x\right)+g\left(y\right)\)

Vậy quy về tìm hàm \(g\) thỏa \(g\left(x+y\right)=g\left(x\right)+g\left(y\right)\)

\(g\left(x+\Delta x\right)=g\left(x\right)+g\left(\Delta x\right)\Rightarrow g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)=g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=\frac{g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)}{\Delta x}\)

Lấy giới hạn 2 vế: \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g\left(\Delta x\right)-g\left(0\right)}{\Delta x}\)

\(\Leftrightarrow g'\left(x\right)=g'\left(0\right)=const\) (theo định nghĩa về đạo hàm)

\(\Rightarrow g\left(x\right)=c.x\) với c là hằng số

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+cx\)

Thay vào pt dưới: \(\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+cx}{x^4}=\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x^3}\right)\)

\(\Leftrightarrow c\left(\frac{1}{x}\right)=c\left(\frac{1}{x^3}\right)\)

Điều này thỏa mãn với mọi x khi và chỉ khi \(c=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\left(\sqrt{2019}\right)=2019\)

31 tháng 8 2020

Nguyễn Việt Lâm a thi VMO k thế :D