Question

[Hoàng Hải Âu]

tim gtnn của M=|x-2019|+|x-2018|-2017

Answer 1

[★Čүċℓøρş★]

M = | x - 2019 | + | x - 2018 | - 2017

M = | x - 2019 | + | x - 2018 | - 2017 \(\ge\)- 2017

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x - 2019 = 0 hoặc x - 2018 = 0

\(\Rightarrow\)x = 2019 hoặc x = 2018

Min M = - 2017 \(\Leftrightarrow\)x = 2019 hoặc x = 2018

Answer 2

[Trương Tiền Phương]

*) Ta chứng minh bổ đề: \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2\left|ab\right|\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left|ab\right|\ge2ab\) 

\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra khi \(ab\ge0\)

Theo bài cho: M = |x-2019| + |x-2018| - 2017

=> M = |x - 2019| + |2018 - x| - 2017

Áp dụng bổ đề trên => | x - 2019 | + | 2018 - x| \(\ge\) | x - 2019 + 2018 - x |

=> | x - 2019 | + | 2018 - x | \(\ge\)1

=> | x - 2019 | + | 2018 - x | - 2017 \(\ge\)1 - 2017

=> M \(\ge\)-2016

Dấu "=" xảy ra khi ( x - 2019 ).( 2018 - x)\(\ge\)0

Ta xét 2 trường hợp:

+) Nếu \(\hept{\begin{cases}x-2019\ge0\\2018-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2019\\x\le2018\end{cases}}\)( loại )

+) Nếu \(\hept{\begin{cases}x-2019\le0\\2018-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2019\\x\ge2018\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow2018\le x\le2019\)( thỏa mãn )

Vạy: GTNN của M = -2016 khi \(2018\le x\le2019\)