chứng minh rằng trong các số 3a^2+2/b^3;3b^2+2/c^3;3c^2+2/a^3 có 1 số lớn hơn hoặc bằng 5
Sử dụng bđt Cauchy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 10 2021
Sửa đề \(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\le6\)
\(\sqrt{a^2+3b}=\sqrt{a^2+\left(a+b+c\right)b}=\sqrt{a^2+ab+b^2+bc}\\ =\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)
Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+3c}\le\dfrac{a+2b+c}{2}\\\sqrt{c^2+3a}\le\dfrac{a+b+2c}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV:
\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}{2}\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=6\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
LY
27 tháng 10 2021
em chưa hiểu cách biến đổi của cái này ạ\(\sqrt{a^2+ab+b^2+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
1 tháng 5 2020
Có \(\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\le\frac{3a+b+a+3b}{2}=2\left(a+b\right)\)
Mà 4ab=\(\left(2\sqrt{ab}\right)^2=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(a+b\right)\right]^2=\left[1-\left(a+b\right)\right]^2\)
Do đó nếu đặt a+b=t. Khi đó a+b \(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
hay \(t\ge\frac{1}{2}\)
Cần chứng minh: \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\)
\(\Leftrightarrow3t^2-t+\left(1-t\right)^2\ge\frac{1}{2}\cdot2t\)
\(\Leftrightarrow4t^2-4t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi t \(\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2t-1=0\\3a+b=3b+a\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{1}{2}\\a=b\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{4}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
