Cho a, b, c là các số thực không âm (a > c; b > c). CM:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DN
3
H
11 tháng 7 2021
Điều phải chứng minh tương đương với
\(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)+\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)+\left(c+a-2\sqrt{ca}\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
(luôn đúng với mọi a,b,c không âm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c >=0
P
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2022
\(a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2\)
Tương tự: \(2b^3+1\ge3b^2\) ; \(2c^3+1\ge3c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(A_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^2\left(a-\sqrt{3}\right)\le0\Rightarrow a^3\le\sqrt{3}a^2\)
Tương tự: \(b^3\le\sqrt{3}b^2\) ; \(c^3\le\sqrt{3}c^2\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}\)
\(A_{max}=3\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và các hoán vị
NT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
\(a^3+1+1\ge3a\)
\(b^3+1+1\ge3b\)
\(c^3+1+1\ge3c\)
Cộng vế:
\(a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(Q_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)
Em nghĩ đề phải là \(\sqrt{c\left(a-c\right)}-\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}< 0\) chứ? Và em cũng không chắc đâu. Em mới biết sơ sơ về BĐT thôi. Nên nếu sai thì thông cảm cho em ạ
Từ đề bài suy ra \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab>ac+bc-c^2\)
Lại có \(ab>c\left(a-c\right)+bc>c\left(a-c\right)\) (do b và c không âm)
Suy ra \(\sqrt{c\left(a-c\right)}< \sqrt{ab}\)(1). Lại có: \(ab>ac+\left(bc-c^2\right)\)
\(=ac+c\left(b-c\right)>c\left(b-c\right)\Rightarrow\sqrt{c\left(b-c\right)}< \sqrt{ab}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(VT< \sqrt{ab}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=-\sqrt{ab}\le0\)
Do vậy VT < 0 ta có đpcm.
cái này chắc đúng rồi :v Góc học tập của Nguyễn Trần Nhã Anh | Học trực tuyến