cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : a+b+c=1 .Chứng minh rằng : ab+bc+ca-3abc $\ge$1/4

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

Nguyễn Thị Mỹ vân

27 tháng 8 2021

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : a+b+c=1 .

Chứng minh rằng : ab+bc+ca-3abc $\ge$1/4

#Toán lớp 11

Trên con đường thành công không có....

27 tháng 8 2021

undefined

Đúng(1)

Ngô Thành Chung

27 tháng 8 2021

Đúng(1)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

Nguyễn Thị Mỹ vân

27 tháng 8 2021

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a²+b²+c²+abc=4 .Chứng minh rằng :

$abc+2\ge ab+bc+ca\ge abc$

#Toán lớp 11

Hồng Phúc

27 tháng 8 2021

Giả sử $c\le1$.

Khi đó: $ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0$

$\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)$

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với $a=2,b=c=0$.

Theo giả thiết:

$4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc$

$\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2$

$\Leftrightarrow ab\le2-c$

Trong ba số $\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)$ luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0$.

$\Rightarrow ab-a-b+1\ge0$

$\Leftrightarrow ab\ge a+b-1$

$\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c$

$\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)\Rightarrow$ Bất đẳng thức được chứng minh.

Đúng(1)

Sennn

15 tháng 4 2022

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện : (0 < c < b< a<=3); (2ab <= 2a+3b); (3abc <= ab+3bc+2ca.)
Chứng minh rằng a³ +b³ + c³<= 36.

#Toán lớp 11

Nguyễn Thị Mỹ vân

30 tháng 8 2021

Cho 3 số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng :

$1+\dfrac{3}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{6}{a+b+c}$

#Toán lớp 11

Nguyễn Thị Mỹ vân

30 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng :

$1+\dfrac{3}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{6}{a+b+c}$

#Toán lớp 11

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 8 2021

$1+\dfrac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1+\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}}=\dfrac{6}{a+b+c}$

Đúng(1)

Nguyễn Thị Mỹ vân

28 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ca}{c+a}+\dfrac{c^2+ab}{a++b}\ge a+b+c$

#Toán lớp 11

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

28 tháng 8 2021

$\dfrac{a^2+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}-a$

$\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}-\left(a+b+c\right)$

Mặt khác áp dụng $x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

$\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge a+b+b+c+a+c=2\left(a+b+c\right)$

$\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c$ (đpcm)

Đúng(2)

Nguyễn Thị Mỹ vân

30 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c=2 Chứng minh rằng:

$\dfrac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\dfrac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\dfrac{ca}{\sqrt{2b+ca}}\le1$

#Toán lớp 11

Rin Huỳnh

30 tháng 8 2021

undefined

Đúng(1)

Nguyễn Hoàng Minh

30 tháng 8 2021

$VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ac+ab+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ac+ab+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+bc+b^2+ac}}\\ VT=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)}{2}\\ \Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}$

Đúng(2)

Phạm Bá Tâm

17 tháng 2 2022 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn, Chứng mình rằng:

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge\sqrt{82}$

#Toán lớp 11

Nguyễn Đăng Nhân

CTVHS

17 tháng 2 2022

Đặt: $A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}$, khi đó ta được:

$A^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}$

$+2\cdot\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}+2\cdot\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ab+\frac{1}{ab}\right)^2}=ab+\frac{1}{ab}$

$\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)}\ge\sqrt{\left(bc-\frac{1}{bc}\right)^2}=bc+\frac{1}{bc}$

$\sqrt{\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}\ge\sqrt{\left(ca+\frac{1}{ca}\right)^2}=ca+\frac{1}{ca}$

Do đó ta có:

$A^2\ge a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab+bc+ca+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)$

$=\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2=82$

Hay $A\ge\sqrt{82}$, vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đúng(0)

ysssdr

22 tháng 1 2022

cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn

: 2(a+b+c)+ab+bc+ca=9

tìm Max $A=\dfrac{a+1}{a^2+10a+21}+\dfrac{b+1}{b^2+10b+21}+\dfrac{c+1}{c^2+10c+21}$

#Toán lớp 11

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 1 2022

Mẫu số to quá nên ko nghĩ ra cách giải đẹp mắt:

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$, ta cần c/m: $A\le\dfrac{3}{16}$

Do $\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+10a+20}\le\sum\dfrac{a+1}{2a+10a+20}=\sum\dfrac{a+1}{12a+20}$

Nên ta chỉ cần chứng minh: $\sum\dfrac{a+1}{3a+5}\le\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{3a+3}{3a+5}-1\right)\le\dfrac{9}{4}-3$

$\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3a+5}\ge\dfrac{3}{8}\Leftrightarrow\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)+10\left(a+b+c\right)+25}{\left(3a+5\right)\left(3b+5\right)\left(3c+5\right)}\ge\dfrac{1}{8}$ (quy đồng)

$\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)+25}{27abc+45\left(ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)\right)-15\left(a+b+c\right)+125}\ge\dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow\dfrac{4\left(a+b+c\right)+52}{27abc-15\left(a+b+c\right)+530}\ge\dfrac{1}{8}$

$\Leftrightarrow47\left(a+b+c\right)\ge27abc+114$

Điều này đúng do:

$9=2\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\le2\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2$

$\Rightarrow\left(a+b+c-3\right)\left(a+b+c+9\right)\ge0$

$\Rightarrow a+b+c\ge3$

Và: $9=a+b+c+a+b+c+ab+bc+ca\ge9\sqrt[9]{a^4b^4c^4}$

$\Rightarrow abc\le1$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}47\left(a+b+c\right)\ge141\\27abc+114\le27+114=141\end{matrix}\right.$ (đpcm)

Đúng(2)

NGUYỄN MINH HUY

5 tháng 4 2021

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3$

#Toán lớp 11

Akai Haruma

Giáo viên

5 tháng 4 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\text{VT}=\sum \frac{a+1}{b^2+1}=\sum [(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}]=\sum (a+1)-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}$

$=6-\sum \frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq 6-\sum \frac{b^2(a+1)}{2b}=6-\sum \frac{ab+b}{2}$

$=6-\frac{\sum ab+3}{2}\geq 6-\frac{\frac{1}{3}(a+b+c)^2+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(3)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP