Cho đường tròng tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn, Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB (M khác A và M khác B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ điểm M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q.
a, Chứng minh điểm A, M, H, Q nằm trên 1 đường tròn, Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ
b, Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB tại P. Chứng minh...
Đọc tiếp
Cho đường tròng tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn, Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB (M khác A và M khác B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ điểm M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q.
a, Chứng minh điểm A, M, H, Q nằm trên 1 đường tròn, Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ
b, Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB tại P. Chứng minh góc AMQ = góc PMB
c, Chứng minh 3 điểm P, H, Q thẳng hàng
d, Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất
Làm câu d:
Ta có \(S_{\Delta MAN}=\frac{1}{2}MQ.AN\Rightarrow MQ.AN=2S_{MAN}\)
\(S_{\Delta MBN}=\frac{1}{2}MP.BN\Rightarrow MP.BN=2S_{MBN}\)
\(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN=2\left(S_{MAN}+S_{MBN}\right)=2.S_{AMBN}\)
Mà tứ giác AMBN là tứ giác có 2 đường chéo AB, MN vuông góc nên theo công thức diện tích ta có: \(S_{AMBN}=\frac{1}{2}AB.MN\)
\(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN=AB.MN\)
Do AB cố định \(\Rightarrow MQ.AN+MP.BN\) đạt max khi MN đạt max
Mà MN là dây cung \(\Rightarrow MN\le\) đường kính \(\Rightarrow MN_{max}\) khi MN là 1 đường kính hay MN đi qua O hay MN đi qua trung điểm AB \(\Rightarrow M\) nằm chính giữa cung AB