Chứng minh: 1/2^2+1/3^2+1/4^2+....+1/n^2<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
30 tháng 8 2020
a) Ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A-A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2^{100}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2023
Lời giải:
$\frac{1}{1+2+3+...+n}=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n(n+1)}$
$=2.\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=2[\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}]$
$=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$ (đpcm)
TM
0
TM
3
K
24 tháng 6 2015
Đặt A=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}\)
2A=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\)
2A-A=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}-\)\(\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}\right)\)
A=\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}\)
Vì \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}\) < \(\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{1}{2}\) < 1
Nên \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^n}\) < 1
=> đpcm
HD
13 tháng 3 2019
Đặt A=122 +123 +124 +...+12n
2A=12 +122 +123 +...+12n−1
2A-A=12 +122 +123 +...+12n−1 −(122 +123 +124 +...+12n )
A=12 −12n
Vì 12 −12n < 12
Mà 12 < 1
Nên 122 +123 +124 +...+12n < 1
=> đpcm
LH
1
4 tháng 8 2016
(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)<(1/1.2)+(1/2.3)+(1/3.4)+...+(1/(n+1).n)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-....+1/n+1-1/n
=1-1/n<1
suy ra biểu thức trên <1
Đặt : \(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{4\cdot4}+...+\frac{1}{n\cdot n}\)
\(M< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n};M< 1-\frac{1}{n}< 1\)
Bạn có thể tham khảo nhé