CM với mọi tam giác ABC ta luôn có:
\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 5 2022
-Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x>0\\c+a-b=y>0\\a+b-c=z>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=z+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{z+x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}=\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{z+x}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}.\left(2+2+2\right)=3\left(đpcm\right)\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
A
26 tháng 1 2021
+ 
+ 
≥ 3.
Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0 (2); a + b – c = z > 0 (3)
Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c = 
Tương tự a = 
; b = 
Do đó + + = 
+ 
+ 
= 
(
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
)
= [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + 2 + 2) = 3.
Vậy + + ≥ 3.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 10 2018
Lời giải:
Đặt \((b+c-a, c+a-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2})\)
Tất nhiên $x,y,z>0$ vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.
Khi đó, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{xy}}{8xyz}}=3\)
Ta có đpcm
b) Vẫn cách đặt giống phần a. Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{c+a-b}=\frac{y+z}{2z}+\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}=\frac{y}{2z}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{3}{2}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{x}{2y}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)
Ta có đpcm.
