chứng minh BĐT : \(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) với k∈N\(^{\cdot}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}=\dfrac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{k}{n\left(n+k\right)}\)
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{k}{n\cdot\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\)(đpcm)
23 tháng 6 2021
a) đk: \(a>0;a\ne1\)
b) Xét K = \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)
= \(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{a}-1+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
= \(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}:\dfrac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
= \(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}.\left(\sqrt{a}-1\right)\)
= \(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}}\)
Xét \(a=3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
<=> \(\sqrt{a}=1+\sqrt{2}\)
<=> K = \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+2\right)\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2\)
c) Đẻ K < 0
<=> \(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}< 0\)
Mà \(\sqrt{a}>0\)
<=> a < 1
<=> 0 < a < 1
2 tháng 9 2022
Bài 1:
a: \(\Leftrightarrow2-3\sqrt{x}+5\sqrt{x}=8\)
=>2 căn x=6
=>căn x=3
=>x=9
b: \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}:\dfrac{2}{3}=1\)
=>x=1
ND
13 tháng 7 2018
\(ĐKXĐ:x\ge0,x\ne1\)
\(K=\left[\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right]\)
\(K=\left[\dfrac{x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}-\sqrt{x}-2}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\left[\dfrac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{x-1}\right]\)
\(K=\left[\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)
\(K=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)
\(K=\left[\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)
\(K=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{x-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right]:\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}\)
\(K=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1-x-\sqrt{x}}{x-1}.\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\)
\(K=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-1}.\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\)
\(K=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
b.
Ta có: \(24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-2.2\sqrt{5}.3+9}}}\)
\(=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=24+\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=24+1=25\)
Thay \(x=25\) vào \(K\) ta được:
\(K=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{25}+1}{2.\sqrt{25}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)
c.
Ta có: \(\dfrac{1}{K}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}\ge1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{K}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}-1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{8}-1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{16\sqrt{x}}{8\sqrt{x}+8}-\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{8\sqrt{x}+8}-\dfrac{8\sqrt{x}+8}{8\sqrt{x}+8}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{16\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-1-8\sqrt{x}-8}{8\sqrt{x}+8}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{6\sqrt{x}-x-9}{8\sqrt{x}+8}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{8\sqrt{x}+8}\ge0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}-\left(\sqrt{x}-3\right)^2\le0\\8\sqrt{x}+8\ge0\end{matrix}\right.\)
⇒ Không có \(x\) thỏa mãn
HT
30 tháng 1 2021
Ủa đề bài như này là sao bạn? Cho dãy x(k), nhưng lại đi tìm u(n)?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 1 2021
Đề bài có nghĩa là tìm giới hạn dãy:
\(u_n=\sqrt[n]{\left(\dfrac{1}{2!}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}\right)^n+...+\left(\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+...+\dfrac{2011}{2012!}\right)^n}\)
Tìm được khá dễ dàng bằng cách sử dụng định lý kẹp
6 tháng 10 2022
a: \(K=\dfrac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{a}+1+2}{a-1}\)
\(=\dfrac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+3}\)
\(=\dfrac{a\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+3\right)}\)
c: Vì \(\sqrt{a}+3>=3>0;\sqrt{a}>0;a\sqrt{a}+1>0\)
nên K>0 với mọi a thỏa mãn ĐKXĐ
=>Không có giá trị nào của a để K<0
17 tháng 6 2018
Câu A dưới mẫu em ghi nhầm nha các pro
Mẫu là \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{2}{\sqrt{6}}+\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}-2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-2k-2+2\sqrt{k\left(k+1\right)}}{\sqrt{k}\left(k+1\right)}< 0\)
Lại có: \(k>0\)
\(\Rightarrow k+1>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{k}\left(k+1\right)>0\)
\(\Rightarrow-1-2k+2\sqrt{k\left(k+1\right)}< 0\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(k+\left(k+1\right)\ge2\sqrt{k\left(k+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2k+1\ge2\sqrt{k\left(k+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{k\left(k+1\right)}-2k-1\le0\forall k>0\)
Vậy \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)