Cho x^y=y^z=z^x.Chứng minh x=y=z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
KC
1
NM
0
LT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2019
Lời giải:
Từ \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=2\)
\(\Rightarrow (x+y+z)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{xy}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xy}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{zy}{x+y}+\frac{xz}{y+z}+\frac{zy}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{xy+zy}{x+z}+\frac{xz+yz}{x+y}+\frac{xy+xz}{y+z}=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+y+z+x=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=x+y+z\) (đpcm)
SN
1
9 tháng 9 2015
+) Th1: nếu 3 số x;y;z có cùng số dư khi chia cho 3 => x - y ; y - z; z - x chia hết cho 3
=> Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 =27
+) Th2: Nếu có 2 trong 3 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử hai số đó là x; y.
*Nếu x; y chia cho 3 dư 0 => x - y chia hết cho 3
mà (x - y)(y - z)(z -x) = x+ y + z => x+ y + z chia hết cho 3 => z chia hết cho 3
=> (y - z); (z - x) chia hêtw cho 3 => tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 = 27
* Nếu x; y chia cho 3 dư 1 => x - y chia hết cho 3 => x+ y + z chia hết cho 3. mà x + y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 1
=> x; y ; z chia cho 3 có cùng số dư => Tích (x - y)(y - z)(z-x) chia hết cho 27
* Tương tự, nếu x; y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 2 => Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 27
=> x+ y + z chia hết cho 27
+) Th3: Cả số x; y ; z không có cùng số dư khi cho 3
=> x; y; z chia cho 3 dư là 0;1 ; 2 và các hiệu x - y ; y - z; z - x không chia hết cho 3
x; y ;z chia cho 3 dư 0; 1;2 => x+ y + z chia hết cho 3
tích (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3 mà (x - y)(y - z)(z - x) = x+ y + z
=> Th3 không xảy ra
Vậy ....
NT
1
5 tháng 4 2020
Ta có: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
+) TH1: x + y + z = 0 => x + y = -z ; x + z = -y; y + z = -x
Do đó: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}=\frac{z}{-z}=-3\)\(\ne1\)loại
+) TH2: x + y + z \(\ne0\)
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
<=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)( đpcm)
