Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
Bài 2:
a: Xét ΔABC vuông tại B có
\(AB^2+BC^2=AC^2\)
hay BC=20(cm)
Xét ΔABC vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(\left\{{}\begin{matrix}BA^2=AH\cdot AC\\BC^2=CH\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=9\left(cm\right)\\CH=16\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
1) Xét tứ giác AEHD có
\(\widehat{EAD}=90^0\)
\(\widehat{AEH}=90^0\)
\(\widehat{ADH}=90^0\)
Do đó: AEHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=ED(Hai đường chéo của hình chữ nhật AEHD)
Ta có: AEHD là hình chữ nhật(cmt)
nên HE=AD(Hai cạnh đối)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(HD^2=AD\cdot DB\)
mà AD=HE(cmt)
nên \(HD^2=HE\cdot DB\)
2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AD\cdot AB=AH^2\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AE\cdot AC=AH^2\)
Ta có: \(AD\cdot AB+AE\cdot AC\)
\(=AH^2+AH^2\)
\(=2AH^2\)
\(=2\cdot DE^2\)(đpcm)
3)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có HA là đường cao ứng với cạnh huyền CB, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{BC}\cdot\dfrac{BC}{AC^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)(đpcm)
a) Ta có: \(\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{HC}\)
b) Ta có: \(\left(\dfrac{CA}{AB}\right)^4=\left(\dfrac{CA^2}{AB^2}\right)^2=\left(\dfrac{CH.BC}{BH.BC}\right)^2=\dfrac{CH^2}{BH^2}=\dfrac{CE.CA}{BD.BA}\)
\(=\dfrac{CE}{BD}.\dfrac{CA}{BA}\Rightarrow\left(\dfrac{CA}{AB}\right)^3=\dfrac{CE}{BD}\)
c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BD.BA.CE.CA=BD.CE\left(AB.AC\right)=BD.CE.AH.BC\)
\(\Rightarrow BD.CE.BC=AH^3\)
d) Vì \(\angle HDA=\angle HEA=\angle DAE=90\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow AH=DE\Rightarrow AH^2=DE^2=DH^2+HE^2\)
Ta có: \(3AH^2+BD^2+CE^2=2AH^2+\left(DH^2+BD\right)^2+\left(HE^2+CE^2\right)\)
\(=2.HB.HC+BH^2+CH^2=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)
d) Ta có: \(\angle HDA=\angle HEA=\angle DAE=90\Rightarrow HDAE\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DE=AH=\sqrt{BH.HC}=\sqrt{4.9}=6\left(cm\right)\)
Ta có: \(DM\parallel EN (\bot DE)\) và \(\angle MDE=\angle DEN=90\)
\(\Rightarrow MDEN\) là hình thang vuông
Vì \(\Delta BDH\) vuông tại D có M là trung điểm BH
\(\Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)
Vì \(\Delta HEC\) vuông tại E có M là trung điểm CH
\(\Rightarrow EN=\dfrac{1}{2}CH=\dfrac{1}{2}.9=\dfrac{9}{2}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{DENM}=\dfrac{1}{2}.\left(DM+EN\right).DE=\dfrac{1}{2}.\left(2+\dfrac{9}{2}\right).6=\dfrac{39}{2}\left(cm^2\right)\)
Ta có \(AB=AD\Rightarrow\Delta ABD\)vuông cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADI}=45^0\Rightarrow\widehat{EID}=45^0\Rightarrow\Delta IED\)vuông cân tại \(E\Rightarrow IE=ED\)
Xét \(\Delta ABD\)có \(IE\)song song \(AB\Rightarrow\frac{IB}{ID}=\frac{AE}{ED}\)
Mà \(IE=ED\Rightarrow\frac{IB}{ID}=\frac{AE}{IE}\left(đpcm\right)\)
b. Ta có \(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{HC}\)
Có \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0;\widehat{BAH}+\widehat{B}=90^0\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{C}\)
Lại có \(\widehat{BAH}=\widehat{AIE}\)Vì 2 góc ở vị trí so le trong \(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{AIE}\)
Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta EAI\)
có \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{E}=90^0\\\widehat{C}=\widehat{AIE}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ABC~\Delta EAI\left(g-g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{IE}\)
Lại có \(\frac{AE}{EI}=\frac{IB}{ID}\Rightarrow\frac{IB}{ID}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{IB^2}{ID^2}=\frac{HB}{HC}\left(đpcm\right)\)
