Question

[Ngọc Nhi]

Cho hbh ABCD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD , O là giao điểm của AC và BD.

1)Chứng minh tứ giác AMCN là hbh.

2)Chứng minh 3 điểm M,O,N thẳng hàng.

3)Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AM.Chứng minh CD=CH.

P/s:Vẽ hình và giải hộ mình nha .(Đặc biệt là ý cuối)

Answer 1

[Phạm Đình Tâm]

BẠN CHỊU KHÓ NHÌN HÌNH NHA!

1) Ta có: \(AN=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC=MC\) , AN // MC

Do đó: tứ giác AMCN là hình bình hành

\(\Rightarrow MA//NC\).

2) Vì hình bình hành ABCD có 2 đường chéo BD và AC cắt nhau tại O nên O là trung điểm AC (1)

Mặt khác: Hình bình hành AMCN có 2 đường chéo AC và MN cắt nhau tại R nên R là trung điểm của AC (2) và MN

Từ (1) và (2) ta suy ra: R\(\equiv\)O hay O là trung điểm MN hay M,O,N thẳng hàng.

3) Nối NH, trong tam giác vuông HDA có HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên \(HN=\dfrac{1}{2}AD=AN\)

Suy ra: \(\Delta\)HNA cân tại N, \(\widehat{NHA}=\widehat{HAN}\)

Mà MA // NC nên \(\widehat{HAN}=\widehat{ANC}\) (So le trong) \(=\widehat{AMC}\) (Vì AMCN là hình bình hành)

\(\Rightarrow\widehat{NHA}=\widehat{HAN}=\widehat{AMC}\) (3)

Lại có: NC // MH nên NCMH là hình thang

Từ (3) suy ra NCMH là hình thang cân

\(\Rightarrow MN=CH\)

Mà \(MN=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{2CD}{2}=CD\) nên \(MN=CH=CD\)