Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BM, CN . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HM}{BM}+\dfrac{HN}{CN}=\dfrac{BD}{CD}.\dfrac{MC}{MA}.\dfrac{NA}{NB}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
12 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{S_{HDC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{HDB}}{S_{ADB}}=\frac{S_{HDC}+S_{HDB}}{S_{ADC}+S_{ADB}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự: \(\frac{HM}{BM}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HN}{CN}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
Từ đó suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(1)
Dễ thấy các cặp tam giác: ∆ADB và ∆CNB, ∆ADC và BMC, ∆AMB và ∆ANC đồng dạng với nhau nên: \(\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{DB}{ NB}.\frac{MC}{DC}.\frac{NA}{MA}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}.\frac{AC}{AB}=1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}\)(đpcm)
20 tháng 6 2023
a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔCBA vuông tại A có
góc B chung
=>ΔABD đồng dạng với ΔCBA
=>BA^2=BD*BC
b: IA/ID=BA/BD
MA/MC=BA/BC
=>IA/ID*MA/MC=BA^2/BD*BC=1
TT
1 tháng 5 2023
< Bạn tự vẽ hình nha>
a)Xét ΔABE và ΔACF, ta có:
góc A: chung
góc F=góc E= 90o
Vậy ΔABE ∼ ΔACF (g.g)
b)Xét ΔHEC và ΔHFB là:
góc H: chung
H1=H2(đối đỉnh)
Vậy ΔHEC∼ ΔHFB (g.g)
⇒\(\dfrac{HE}{HF}\)=\(\dfrac{HC}{HB}\)⇔HE.HB=HF.HC
<Mình chỉ biết đến đó thôi>
27 tháng 5 2021
a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.
b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).
Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).
c) Gọi P' là trung điểm của MC.
Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.
Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.
Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.
9 tháng 3 2022
-Sửa đề: Đoạn BC không đổi.
-BH cắt AC tại D.
-Xét △ABC có:
H là trực tâm, AK là đường cao.
\(\Rightarrow\)H∈AK, BH là đường cao.
Mà BH cắt AC tại D (gt)
\(\Rightarrow\)BH⊥AC tại D.
-Xét △HBK và △HAD có:
\(\widehat{BKH}=\widehat{HDA}=90^0\)
\(\widehat{BHK}=\widehat{AHD}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△HAD (g-g).
-Xét △HBK và △CAK có:
\(\widehat{HKB}=\widehat{CKA}=90^0\)
\(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\)(△HBK∼△HAD)
\(\Rightarrow\)△HBK∼△CAK (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KB}{KA}\) (tỉ số đồng dạng)
\(\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)
-Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)
\(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow KB.KC\le\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MC+MK\right)\le MB^2\) (do cách dựng hình)
\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MB+MK\right)\le MB^2\)
\(\Leftrightarrow MB^2-MK^2\le MB^2\) (luôn đúng do MK>0)
-Vậy \(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\) . Dấu bằng xảy ra khi △ABC cân tại A.
