Question

[Hoàng Thị Thúy]

Với a,b,c là các số thức dương .Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^5}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

@Ace Legona

Answer 1

[Feed Là Quyền Công Dân]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\). Cần chứng minh BĐT

\(\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Lại xài BĐT Holder ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)

BĐT cuối nên ta có cả bài này sai. Ai có cách khác hay soi lỗi hộ thì tks trước :v

Answer 2

[Hoàng Thị Thúy]

@Xuân Tuấn Trịnh và những bạn khác nữa giúp mình đi