Question

[Hà Phương]

Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC. Gọi G, O lần lượt là trọng tâm, điểm cách đều của tam giác ABC. CMR: GO // BC.

HD: Gọi giao điểm của AO và BC là D, giao điểm của AG và BC là N.

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Bài hay quá!

Điểm cách đều tam giác ở đây chắc là tâm đường tròn nội tiếp?

Gọi điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp (O) với hai cạnh BC,AB là D,F. Gọi M là trung điểm của BC và phân giác AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở K.

Ta kí hiệu \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh BC,CA,AB như thông thường. Ta có ngay \(b+c=2a,\)(do giả thiết). Mặt khác \(AF=\frac{b+c-a}{2}=\frac{a}{2}=BM\).  Mặt khác \(\angle MBK=\frac{\angle A}{2}=\angle FAO\). Suy ra \(\Delta FAO=\Delta MBK\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông). Do vậy \(\text{AO=BK, FO=KM}\), suy ra \(OD=KM\). . Gọi \(T=AK\cap BC\) suy ra \(T\) là trung điểm \(KO\). 

Cuối cùng để ý rằng \(\angle OBK=\frac{B}{2}+\frac{A}{2}=\angle BOK\to\Delta OBK\) cân ở \(K\), do đó \(KB=KO=KA\to AO=2OT.\) Vậy ta có \(\frac{AO}{OT}=2=\frac{AG}{GN}\to\) theo định lý Ta-let đảo thì OG song song BC.
 

Answer 2

[Hà Minh Hiếu]

Bài này hay đến nỗi nên thơ, hay đến nỗi nỗi làm rung động các nhà bác học  toán lừng danh trên thế giới