cho các số thực sao cho \(x+\frac{1}{y}\)+\(y+\frac{1}{x}\)là số nguyên
CMR x2y2là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
19 tháng 8 2016
Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)
Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)
Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).
6 tháng 12 2017
Vì \(x+\frac{1}{y}\in Z;y+\frac{1}{x}\in Z\)nên \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
=>\(xy+\frac{1}{xy}\in Z\)
=>\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^3\)
=>\(x^3y^3+\frac{1}{x^3y^3}+3\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)\(\in Z\)
=>ĐPCM
1 tháng 1 2018
x+1/y và y+1/x là các số nguyên
=> (x+1/y).(y+1/x) là số nguyên
<=> xy+1/xy+2 là số nguyên
<=> xy+1/xy là số nguyên
<=> (xy+1/xy)^2 là số tự nhiên
<=> x^2y^2+1/x^2y^2+2 là số tự nhiên
=> x^2y^2+1/x^2y^2 là số nguyên
=> ĐPCM
k mk nha
TN
24 tháng 6 2016
a)\(\frac{x-1}{5}=\frac{3}{y+4}\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y+4\right)=15\)
=>x-1 và y+4 thuộc Ư(15)={±1;±3;±5;±15}
Tới đây bn tự xét nhé nó hơi dài nên mk ngại làm
b)Để P thuộc Z
=>x-2 chia hết x+1
=>x+1-3 chia hết x+1
=>3 chia hết x+1
=>x+1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}
=>x thuộc {0;-2;2;-4}
LH
0
EK
1
17 tháng 6 2021
Ta có : \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\left(y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-4}{4y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2xy-8=4y\)
\(\Leftrightarrow xy-2y-4=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x-2=\dfrac{4}{y}\left(1\right)\)
Mà x, y là các số nguyên .
\(\Rightarrow y\inƯ_{\left(4\right)}\)
\(\Rightarrow y\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
- Thay lần lượt y vào ( 1 ) ta được x lần lượt là : \(\left\{6;-2;4;0;3;1\right\}\)
Vậy ...
9 tháng 5 2017
Câu 2/
\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)
Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.
PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.
Lũy thừa các số thực mang dấu duong khi số mũ chẵn .
Mà 2 là số chẵn
=> x^2 dương ; y^2 dương .
Số dương nhân với số dương ta luôn được kết quả là số dương
=> x^2y^2 dương
Vì số dương thuộc tập hợp các số nguyên nên x^2y^2 nguyên