Question

[Nguyễn Đại Nghĩa]

Cho hình vuông ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho \(\widehat{CDE}=30^o\).Kẽ \(BH\perp DE\left(H\in DE\right)\), BH cắt CD tại  K

a) chứng minh ; BDCH, ABHD nội tiếp, xác định tâm và bán kính

b) AH cắt BD tại M . Chứng minh \(AB.MD=MA.DH\)

c) Chứng minh M, E, K thẳng hàng

Answer 1

[Nhóc vậy]

Dễ thấy \(\widehat{BDC}=45^o\)lại có \(\widehat{CDE}=30^o\)

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDH}=\widehat{BDC}-\widehat{CDE}=45^o-30^o=15^o\)

   ( vì cùng chắn cung BH )

=>\(\widehat{BMH}=\widehat{ABM}+\widehat{BAM}=45^o+15^o=60^o\)( Góc ngoài của tam giác AMB )

\(\Delta DEC\)vuông tại C có \(\widehat{CDE}=30^o\left(gt\right)\)

=>\(\widehat{DEC}=60^o\)=> \(\widehat{BEH}=\widehat{DEC}=60^o\left(đđ\right)\)

Tứ giác BMEH có \(\widehat{BEH}=\widehat{BMH}=60^o\)nên BMEH nội tiếp =>\(\widehat{BME}=\widehat{BHE}=90^o\)hay \(ME\perp BD\left(1\right)\)

Mặt khác có E là trực tâm của tam giác DBK=> \(KE\perp BD\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => EM và KE phải trùng nhau hay 3 điểm M. E, K thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Đại Nghĩa]