Cho các số thực dương \(a;b;c;d\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^2+b+c+d}+\dfrac{1}{b^2+c+d+a}+\dfrac{1}{c^2+d+a+b}+\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le1\) P/s: Em xin phép quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, em nhờ mọi người vui lòng giúp đỡ em với ạ!Em cám ơn nhiều lắm...
Đọc tiếp
Cho các số thực dương \(a;b;c;d\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a^2+b+c+d}+\dfrac{1}{b^2+c+d+a}+\dfrac{1}{c^2+d+a+b}+\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le1\)
P/s: Em xin phép quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, em nhờ mọi người vui lòng giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+b+c+d\right)\left(1+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c+d}\le\dfrac{1+b+c+d}{16}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b^2+c+d+a}\le\dfrac{1+c+d+a}{16}\) ; \(\dfrac{1}{c^2+d+a+b}\le\dfrac{1+d+a+b}{16}\)
\(\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le\dfrac{1+a+b+c}{16}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{4+3\left(a+b+c+d\right)}{16}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
Dạ em cám ơn thầy Lâm ạ!