Question

[Icarus Chune]

Cho hai số thực a;b thay đổi thỏa mãn điều kiện \(a+b\ge1\) và \(a>0\)

Tìm GTNN của \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(A\ge a+1-b+\frac{1-a}{4a}+b^2\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2-b=a+\frac{1}{4a}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

\(A\ge a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4a}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)