Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(4=2^x+2^y\ge2\sqrt{2^{x+y}}\Rightarrow2^{x+y}\le4\Rightarrow x+y\le2\)
\(\Rightarrow xy\le1\)
\(P=4x^2y^2+2x^3+2y^3+10xy\)
\(P=4x^2y^2+10xy+2\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)
\(P\le4x^2y^2+10xy+4\left(4-3xy\right)=4x^2y^2-2xy+16\)
Đặt \(xy=t\Rightarrow0< t\le1\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^2-2t+16\) trên \((0;1]\)
\(\Rightarrow...\)
Do \(1\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2\le3x\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(y^2+2\le3y\)
Do đó: \(P\ge\dfrac{x+2y}{3x+3y+3}+\dfrac{2x+y}{3x+3y+3}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
\(P\ge\dfrac{x+y}{x+y+1}+\dfrac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
Đặt \(a=x+y-1\Rightarrow1\le a\le3\)
\(\Rightarrow P\ge f\left(a\right)=\dfrac{a+1}{a+2}+\dfrac{1}{4a}\)
\(f'\left(a\right)=\dfrac{3a^2-4a-4}{4a^2\left(a+2\right)^2}=\dfrac{\left(a-2\right)\left(3a+2\right)}{4a^2\left(a+2\right)^2}=0\Rightarrow a=2\)
\(f\left(1\right)=\dfrac{11}{12}\) ; \(f\left(2\right)=\dfrac{7}{8}\) ; \(f\left(3\right)=\dfrac{53}{60}\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge\dfrac{7}{8}\Rightarrow P_{min}=\dfrac{7}{8}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)
Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z2 ta thu được:
\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)
(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:
\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z2)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:
\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)
\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
Vậy...
P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v
\(a^2+b^2+6ab+2=2a+3b\Rightarrow\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)+2=-a\left(4b+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b-1\right)\left(a+b-2\right)\le0\Rightarrow1\le a+b\le2\)
\(a^2+b^2+6ab+2=2a+3b\Rightarrow4ab=-\left(a+b\right)^2+2a+3b-2\)
\(-P=\dfrac{6a+5b+4ab+7}{a+b+1}=\dfrac{6a+5a+7-\left(a+b\right)^2+2a+3b-2}{a+b+1}\)
\(=\dfrac{-\left(a+b\right)^2+8\left(a+b\right)+5}{a+b+1}\)
Tới đây có thể giải theo lớp 9 (tách thành tích hoặc bình phương) hoặc làm theo lớp 12 (khảo sát hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+8x+5}{x+1}\) trên \(\left[1;2\right]\)). Cả 2 việc đều dễ dàng cả
\(-P=6-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x+1}=\dfrac{17}{3}+\dfrac{\left(3x-1\right)\left(2-x\right)}{3\left(x+1\right)}\)
Đáp án C.
Ta có: GT
<=> 5x+2y + x + 2y – 3–x–2y = 5xy–1 – 31–xy + xy – 1.
X é t h à m s ố f t = 5 t + t - 3 - t
⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0 ∀ t ∈ ℝ
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ suy ra
f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1
⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .
Do x > 0 => y > 1.
Ta có:
T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .
Ta có : \(P=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}+\left(\frac{z}{x}\right)^2+\frac{15}{\frac{z}{x}}\)
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\Rightarrow a,b,c=1,c>1\)
Biểu thức viết lại : \(P=\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{a+b}+c^2+\frac{15}{c}\)
Ta có : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{a+b}\ge ab=\frac{1}{c}\) vì a,b>0
Vậy \(P\ge\frac{1}{c}+c^2+\frac{15}{c}=c^2+\frac{16}{c}=f\left(c\right)\) với mọi \(c\in\left(1;+\infty\right)\)
Ta có \(f'\left(c\right)=2c-\frac{16}{c}\Rightarrow f'\left(c\right)=0\Leftrightarrow c=2\)
Lập bảng biến thiên ta có \(f'\left(c\right)\ge f\left(2\right)=12\) khi và chỉ khi \(c=2\Rightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow z=\sqrt{2}y=2x\)
Vậy giá trị nhỏ nhất P=12 khi và chỉ khi \(z=\sqrt{2}y=2x\)
Đáp án C.
Ta có
Khi đó, giả thiết trở thành:
log 3 x + y x 2 + y 2 + x y + 2 = x 2 + y 2 + x y + 2 - 3 x + y - 2
⇔ log 3 x + y - log 3 x 2 + y 2 + x y + 2 = x 2 + y 2 + x y + 2 - 3 x + y - 2
⇔ 3 x + y + log 3 3 x + y = x 2 + y 2 + x y + 2 + log 3 x 2 + y 2 + x y + 2
Xét hàm số f t = t + log 3 t trên khoảng 0 ; + ∞ , có f ' t = 1 + 1 t ln 3 > 0 ; ∀ t > 0 .
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà f[3(x + y)] = f(x2 + y2 + xy + 2)
\(2019^{2\left(x^2-y+2\right)}-\frac{4x+y+2}{\left(x+2\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2019^{2\left[\left(x+2\right)^2-\left(4x+y+2\right)\right]}=\frac{4x+y+2}{\left(x+2\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2019^{2\left(x+2\right)^2}\left(x+2\right)^2=2019^{2\left(4x+y+2\right)}\left(4x+y+2\right)\)(1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=2019^{2t}.t\)với \(t>0\).
\(f'\left(t\right)=2t.2019^{2t}ln\left(2019\right)+2019^{2t}>0\)với \(t>0\).
Nên từ (1) suy ra \(\left(x+2\right)^2=4x+y+2\Leftrightarrow x^2-y+2=0\)
\(2y-4x=2\left(x^2+2\right)-4x=2\left(x^2-2x+1\right)+2\ge2\)
Dấu \(=\)khi \(x=1,y=3\).