Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xy=1\Rightarrow y=\frac{1}{x}\)
\(M=f\left(x\right)=\frac{x^3}{1+\frac{1}{x}}+\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^3}{1+x}=\frac{x^4}{x+1}+\frac{1}{x^3\left(x+1\right)}=\frac{x^7+1}{x^4+x^3}\)
\(f'\left(x\right)=\frac{7x^6\left(x^4+x^3\right)-\left(4x^3+3x^2\right).\left(x^7+1\right)}{\left(x^4+x^3\right)^2}=\frac{3x^{10}+4x^9-4x^3-3x^2}{\left(x^4+x^3\right)^2}=\frac{3x^2\left(x^8-1\right)+4x^3\left(x^6-1\right)}{\left(x^4+x^3\right)^2}\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=1\)
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2log_a\left(ab\right)=2\left(1+log_ab\right)\\y^2=2log_b\left(ab\right)=2\left(1+log_ba\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2log_ab=x^2-2\\2log_ba=y^2-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow y^2-2=\frac{4}{x^2-2}\Rightarrow y^2=\frac{2x^2}{x^2-2}\) (\(x\ge\sqrt{2}\))
\(\Rightarrow P=f\left(x\right)=8x+\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-2}}=0\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=8-\frac{2\sqrt{2}x}{\left(x^2-2\right)^2\sqrt{\frac{x^2}{x^2-2}}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x^2-2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=P\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)=5\sqrt{10}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\n=5\\m=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m+n+p=15\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x+m-\left(x+\frac{3}{x}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x(m-1)-3=0\)
Để hai đths cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì pt trên phải có hai nghiệm phân biệt.
\(\Rightarrow \Delta=(m-1)^2+3>0\) (luôn đúng với mọi m)
Khi đó, gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt thì theo hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
Hai giao điểm là \(M(x_1,2x_1+m); N(x_2,2x_2+m)\)
\(MN=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2x_1+m-2x_2-m)^2}=\sqrt{5(x_1-x_2)^2}\)
Có \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+12\geq 12\)
\(\Rightarrow MN\geq \sqrt{60}\) hay \(MN_{\min}=\sqrt{60}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2^x=a\\3^y=b\\4^z=c\end{matrix}\right.\) (với \(a;b;c>0\)) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)
Gọi \(M\left(a;b;c\right)\) thì M thuộc mặt cầu tâm \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) bán kính \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(T=2^{x+1}+3^{y+1}+4^{z+1}=2.2^x+3.3^y+4.4^z=2a+3b+4c\)
\(\Rightarrow2a+3b+4c-T=0\)
Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi có phương trình \(2x+3y+4z-T=0\)
\(\Rightarrow M\in\left(P\right)\Rightarrow M\) thuộc giao của mặt cầu và (P)
Mà mặt cầu giao với (P) khi và chỉ khi:
\(d\left(I;\left(P\right)\right)\le R\Leftrightarrow\frac{\left|2.\frac{1}{2}+3.\frac{1}{2}+4.\frac{1}{2}-T\right|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|T-\frac{9}{2}\right|\le\frac{\sqrt{87}}{2}\) \(\Rightarrow\frac{-\sqrt{87}}{2}\le T-\frac{9}{2}\le\frac{\sqrt{87}}{2}\)
\(\Rightarrow T\le\frac{9+\sqrt{87}}{2}\)
\(P=xy-3\left(x+y\right)+9\)
Đặt \(x+y=a\Rightarrow1< a\le\sqrt{2}\)
\(a^2=x^2+y^2+2xy=1+2xy\Rightarrow xy=\frac{a^2-1}{2}\)
\(P=\frac{a^2-1}{2}-3a+9\Rightarrow2P=a^2-6a+17\)
\(2P=a^2-6a-2+6\sqrt{2}+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)-6\left(a-\sqrt{2}\right)+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(6-\sqrt{2}-a\right)+19-6\sqrt{2}\ge19-6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{19-6\sqrt{2}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
