VD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
19 tháng 3 2016
Đặt \(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
Với mọi \(a,b,c>0\) thì ta có bất đẳng thức luôn đúng với điều kiện trên như sau:
\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2;\) \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\) và \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)
Khi đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh, tức biểu thức \(A\) sẽ trở thành:
\(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a^2b+ab^2}{2ab}+\frac{b^2c+bc^2}{2bc}+\frac{c^2a+ca^2}{2ca}=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c\)
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a=b=c\)
TM
7 tháng 4 2017
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)=1
16 tháng 10 2020
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
NT
1
4 tháng 8 2020
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\).
BĐT trên dễ dàng chứng minh được bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương.
Do đó: \(\left(\sum\sqrt{a^2+2bc}\right)^2\le3\left(\sum a^2+2\sum bc\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{a^2+2bc}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
CW
18 tháng 7 2016
VT = (a+b+c)^2
= [(a+b) + c]^2
= (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2
= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2
= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = VP
Vậy ...
---------------------------------------
VT= (a+b+c)^2 + a^2 + b^2 + c^2
= [(a+b) + c]^2 + a^2 + b^2 + c^2
= (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 + a^2 + b^2 + c^2
= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 + a^2 + b^2 + c^2
= (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2bc + c^2) + (c^2 + 2ca + a^2)
= (a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 = VP
Vậy...
9 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{3^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\left(a+b+c\le1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
