O
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\frac{x}{x^3+y^2+z}=\frac{x\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}{\left(x^3+y^2+z\right)\left(\frac{1}{x}+1+z\right)}\le\frac{1+x+xz}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{1+x+xz}{9}\)
Tương tự rồi cộng lại ta được:
\(T\le\frac{3+x+y+z+xy+yz+zx}{9}=\frac{6+xy+yz+zx}{9}\le\frac{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
16 tháng 12 2019
\(Q=\Sigma\frac{x^2}{xy^2z}+\frac{x^5}{y}+\frac{y^5}{z}+\frac{z^5}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+4\sqrt[4]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}.\frac{1}{16}}-\frac{1}{16}\)
\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+2xyz-\frac{1}{16}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+32xyz+32xyz-62xyz-\frac{1}{16}\)
\(\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}.32^2\left(xyz\right)^2}-\frac{62}{27}\left(x+y+z\right)^3-\frac{1}{16}=20-\frac{31}{4}-\frac{1}{16}=\frac{195}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
DA
Cho x,y,z dương và x+y+z=3. Tìm GTNN của \(A=\frac{3+x^2}{y+z}+\frac{3+y^2}{z+x}+\frac{3+z^2}{x+y}\)
1
26 tháng 8 2020
:(
\(A=\frac{3+x^2}{y+z}+\frac{3+y^2}{z+x}+\frac{3+z^2}{x+y}\)
\(=3\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)+\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)\)
\(\ge3\cdot\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{27}{2\cdot3}+\frac{3}{2}=6\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
26 tháng 5 2019
Áp dụng bđt cosi ta có
\(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{9}{25}x\left(y^2+z\right)\ge\frac{6}{5}x^2\)
................................................................,,,,
=>\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{9}{25}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xy+yz+xz\right)\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(x^3+xz^2\right)+\left(y^3+yx^2\right)+\left(z^3+zy^2\right)+x^2z+y^2x+z^2y\)
\(\ge3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
=> \(xy^2+yz^2+zx^2\le\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Lại có \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
Khi đó
\(VT\ge\frac{6}{5}\left(x^2+...\right)-\frac{9}{25}\left(\frac{5}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right)=\frac{3}{5}\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}=\frac{4}{5}\)
Vậy MinA=4/5 khi x=y=z=2/3
TM
30 tháng 5 2017
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
KK
2 tháng 1 2017
Ta có \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z\ge\frac{x+y+z}{2}+x+y+z\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+y\left(\frac{y}{x+z}+1\right)+z\left(\frac{z}{x+y}+1\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x\left(\frac{x+y+z}{y+z}\right)+y\left(\frac{y+x+z}{x+z}\right)+z\left(\frac{z+x+y}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (Theo BĐT Nesbitt )
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\) (đpcm)
Tham khảo nhé:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/98915782166.html
Hok tốt~
Dễ thấy nếu \(x=0\)thì\(y=z=0,\Leftrightarrow x=y=z=0\)là 1 bộ giá trị phải tìm.
Gỉa sử x, y và z \(\ne\)0 thì theo đề bài ra \(x+y+z\ne0\). Sử dụng tính chất dãy số bằng nhau, ta có:
\(x+y+z=\frac{x}{y+z-2}=\frac{y}{z+x-3}=\frac{z}{x+y+5}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
Thay kết quả vào dãy tỉ số ban đầu, ta được : \(x=-\frac{1}{2};y=-\frac{5}{6};z=\frac{11}{6}.\)
Vậy ta có : \(x=y=z=0\)hoặc \(x=-\frac{1}{2};y=-\frac{5}{6};z=\frac{11}{6}.\)