Question

[Phạm Tuấn Đạt]

Tìm x, y nguyên dương thoả mãn : x^2 - 2 chia hết cho xy + 2.

Answer 1

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

\(x^2-2⋮xy+2\)<=> \(y\left(x^2-2\right)⋮xy+2\)

<=> x(xy+2)-2y-2x\(⋮\)xy +2

<=> 2(x+y)\(⋮\)xy+2

=> 2(x+y)\(\ge\)xy+2

=> y(2-x)\(\ge\)2-2x

Xét x=1 rồi tìm y 

Xét x=2 => KTM

Xét x≥2 ta có \(y\le\frac{2x-2}{x-2}=\frac{2\left(x-2\right)+2}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}\le4\)=>\(1\le y\le4\)

Xét các trường hợp của y để tìm x

Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))

Answer 2

[Trương Minh Nghĩa]

1)1) Do xyxy bình đẳng nên có thể giả sử xx ≤≤ yy

Từ x+y+1⋮xyx+y+1⋮xy và x+y+1,xy∈Nx+y+1,xy∈N

⇒x+y+1≥xy⇒x+y+1≥xy

⇔xy−x−y≤1⇔xy-x-y≤1

⇔xy−x−y+1≤2⇔xy-x-y+1≤2

⇔x(y−1)−(y−1)≤2⇔x(y-1)-(y-1)≤2

⇔(x−1)(y−1)≤2      (1)⇔(x-1)(y-1)≤2      (1)

Nên x≥3⇒y≥3⇒x−1≥2;y−1≥2x≥3⇒y≥3⇒x-1≥2;y-1≥2

                   ⇒(x−1)(y−1)≥4(mt)⇒(x-1)(y-1)≥4(mt)

Vậy x<3x<3, mà x∈N⋅⇒x∈{1;2}x∈N⋅⇒x∈{1;2}

+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒ [y=1y=2[y=1y=2

+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y

                                           ⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3(t/m)(t/m)

Vậy (x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}(x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}

2)2x+y−1⋮xy (1)2)2x+y-1⋮xy (1)

Do x,yx,y là số nguyên dương ⇒2x+y−1,xy∈N⋅⇒2x+y-1,xy∈N⋅

Từ (1)⇒2x+y−1≥xy(1)⇒2x+y-1≥xy

         ⇔xy−2xy≤−1⇔xy-2xy≤-1

         ⇔x(y−2)+y+2≤1⇔x(y-2)+y+2≤1

         ⇔x(y−2)−(y−2)≤1⇔x(y-2)-(y-2)≤1

         ⇔(x−1)(y−2)≤1 (2)⇔(x-1)(y-2)≤1 (2)

+)+) Xét x=1⇒2+y−1⋮yx=1⇒2+y-1⋮y

                    ⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1

+)+) Xét x=2⇒y+3⋮2yx=2⇒y+3⋮2y

                      ⇒y+3⋮y⇔3⋮y⇒y+3⋮y⇔3⋮y

                      ⇒⇒ [y=1(t/m)y=3(t/m)[y=1(t/m)y=3(t/m)

+)+) Xét x≥3⇒x−1≥2x≥3⇒x-1≥2

         Nếu y≥3⇒y−2≥1y≥3⇒y-2≥1

                           ⇒(x−1)(y−2)≥2⇒(x-1)(y-2)≥2 mt với (2)(2)

Suy ra y<3=>y=1y<3=>y=1 hay y=2y=2

+)y=1+)y=1 ta có:

                       2x⋮x2x⋮x luôn đúng

+)y=2⇒2x+1⋮2+)y=2⇒2x+1⋮2

            ⇔1⋮2x⇒1≥2x⇔1⋮2x⇒1≥2x Vô lý

Vậy (x,y)∈{(1;1);(2;3),xy∈N⋅}