Question

[Vũ Minh Anh]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 

\(\frac{p^2-p-2}{2}\)là lập phương của một số tự nhiên

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Giả sử tồn tại số \(p\)thỏa mãn. 

Ta đặt \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\).

- \(p=2\)thỏa mãn.

- \(p>2\)do là số nguyên tố nên \(p\)lẻ.

Ta có: \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\Leftrightarrow p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)suy ra \(p\)là ước của \(a+1\)hoặc \(a^2-a+1\).

+) \(p|a+1\): \(\frac{p^2-p-2}{2}=a^3\)suy ra \(a< p\Rightarrow a+1=p\).

Thế vào cách đặt ban đầu ta được \(\frac{\left(a+1\right)^2-\left(a+1\right)-2}{2}=a^3\Leftrightarrow2a^3-a^2-a+2=0\)

\(\Leftrightarrow a=-1\)không thỏa. 

+) \(p|a^2-a+1\): Đặt \(a^2-a+1=kp\)(1).

\(p\left(p-1\right)=2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=2\left(a+1\right)kp\)

\(\Rightarrow p-1=2\left(a+1\right)k\Leftrightarrow p=2k\left(a+1\right)+1\)thế vào (1): 

\(a^2-a+1=k\left[2k\left(a+1\right)+1\right]\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(2k^2+1\right)a-2k^2-k+1=0\)

\(\Delta=\left(2k^2+1\right)^2-4\left(-2k^2-k+1\right)=4k^4+12k^2+4k-3\).

Ta cần tìm số tự nhiên \(k\)để \(\Delta\)là số chính phương. 

Ta có: \(4k^4+12k^2+4k-3>4k^4+8k^2+4=\left(2k^2+2\right)^2\)

\(4k^4+12k^2+4k-3< 4k^4+16k^2+16=\left(2k^2+4\right)^2\)

Theo nguyên lí kẹp suy ra \(4k^4+12k^2+4k-3=\left(2k^2+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4k-3=9\Leftrightarrow k=3\).

Với \(k=3\): \(a^2-19a-20=0\Rightarrow a=20\Rightarrow p=127\).

Vậy \(p\in\left\{2,127\right\}\).