Question

[Pham Trong Bach]

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

sin π 4 3 x - 9 x 2 - 16 x - 80 = 0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Điều kiện  9 x 2 - 16 x - 80 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4

Phương trình đã cho tương đương với

π 4 3 x - 9 x 2 - 16 x - 80 = k π k ∈ ℤ ⇔ 3 x - 9 x 2 - 16 x - 80 = 4 k ⇔ 9 x 2 - 16 x - 80 = 3 x - 4 k ⇔ x ≥ 4 k 3 9 x 2 - 16 x - 80 = 3 x - 4 k 2 ⇔ x ≥ 4 k 3 x = 2 k 2 + 10 3 k - 2

Yêu cầu bài toán tương đương với 

2 k 2 + 10 3 k - 2 ≥ 4 k 3 x = 2 k 2 + 10 3 k - 2 ≥ 4 2 k 2 + 10 3 k - 2 ∈ ℤ

Ta có 

2 k 2 + 10 3 k - 2 ≥ 4 k 3 x = 2 k 2 + 10 3 k - 2 ≥ 4 ⇔ - 6 k 2 + 8 k + 30 3 k - 2 ≥ 0 2 k 2 - 12 k + 18 3 k - 2 ≥ 0 ⇔ 2 3 < k ≤ 3

Vì k ∈ ℤ  nên  k ∈ 1 ; 2 ; 3

Với k = 1 suy ra  2 k 2 + 10 3 k - 2 = 12 ∈ Z

Với k = 2 suy ra  2 k 2 + 10 3 k - 2 = 9 2 ∉ 9 2

Với k = 3 suy ra  2 k 2 + 10 3 k - 2 = 4 ∈ Z

Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12

Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm

Đáp án C