Question

[Hieu Hoang]

tìm nghiệm nguyên của pt 6x²+19y²+24x-2y+12xy-725

Answer 1

[vodiem]

6x²+19y²+24x-2y+12xy-725=0

\(\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x-2y+19y^2-725=0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(12y+24\right)^2-4.6.\left(-2y+19y^2-725\right)\)

\(\Leftrightarrow144y^2+576y+576+48y-456y^2+17400\)

bữa sau sẽ trả lời tiếp

Answer 2

[Lê Hoàng]

Với \(x,y\in Z\)

\(6x^2+19y^2+24x-2y+12xy-725=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2+\left(12xy+24x\right)+19y^2-2y-725=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x+19y^2-2y-725=0\)

\(\Leftrightarrow6x^2+2\left(6y+12\right)x+19y^2-2y-725=0\) \(\left(a=6,b'=6y+12,c=19y^2-2y-725\right)\)

\(\Delta'=\left(6y+12\right)^2-6\left(19y^2-2y-725\right)=36y^2+144y+144-114y^2+12y+4350\)

\(\Delta'=-78y^2+156y+4494=-78\left(y^2-2y+1\right)+78+4494=-78\left(y-1\right)^2+4572\)

PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2\ge-4572\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le\frac{762}{13}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{9906}}{13}\le y-1\le\frac{\sqrt{9906}}{13}\), mà \(y\in Z\) \(\Rightarrow-7\le y-1\le7\left(1\right)\)

Với PT có nghiệm, ta có: \(x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}\)

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-\left(12y+24\right)}{6}=-2y-4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{19y^2-2y-725}{6}=\frac{y^2-2y+1+18y^2-726}{6}=3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\end{cases}}\)

Để \(x\in Z\), thì \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2\in Z\\x_1x_2\in Z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2y-4\in Z\\3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\) (vì \(y\in Z\))

Và \(\Delta'\) là số chính phương.

* \(\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2⋮6\Leftrightarrow y-1⋮6\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow y-1\in\left\{-6;0;6\right\}\Leftrightarrow y\in\left\{-5;1;7\right\}\)

* \(\Delta'\) là số chính phương \(\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572\) là số chính phương

- Thử \(y=-5\), thì \(\Delta'=-78\left(-5-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764\) (1764 là số chính phương)

- Thử \(y=1\), thì \(\Delta'=-78\left(1-1\right)^2+4572=4572\) (4572 không phải là số chính phương)

- Thử \(y=7\), thì \(\Delta'=-78\left(7-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764\) (1764 là số chính phương)

Từ đó, với \(y\in\left\{-5;7\right\}\) thì \(\Delta'=1764\) là số chính phương. \(\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=42\)

PT có nghiệm thì:

\(x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-6y-12\pm42}{6}=-y-2\pm7\)

- Với \(y=-5\), thì \(x=5-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-4;10\right\}\) (tmđk)

- Với \(y=7\), thì \(x=-7-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-16;-2\right\}\) (tmđk)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(-4;-5\right),\left(10;-5\right),\left(-16;7\right),\left(-2;7\right)\).