K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 12 2021
\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2\geq \frac{1}{3}.(\frac{9}{x+y+z})^2=\frac{27}{(x+y+z)^2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{27}{(x+y+z)^2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{1}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{2}{3}\)
\(\frac{80}{3(x+y+z)^2}\geq \frac{80}{3}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{82}{3}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Ta có: \(\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}\)
\(\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}\)
\(\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{z+1}\)
Cộng vế theo vế:
\(P=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz dạng Engel:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
cj giỏi quá