Question

[Hắc Thiên]

Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương a,b biết: \(M=n.4^n+3^n⋮7\)

Answer 1

[shitbo]

Nếu n có dạng 2k ( k nguyên dương )

Khi đó:
\(M=2k\cdot4^{2k}+3^{2k}=2k\cdot16^k+9^k\)

Ta có:

\(16^k\equiv2^k\left(mod7\right);9^k\equiv2^k\left(mod7\right)\Rightarrow2k\cdot2^k+2^k\equiv M\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow M\equiv2^k\left(2k+1\right)\left(mod7\right)\Rightarrow2k+1⋮7\Rightarrow k\) chia 7 dư 3

\(\Rightarrow k\) có dạng 7q+3

Khi đó n có dạng 14q+6

Nếu n có dạng 2k+1 ( k là số nguyên dương ) 

Khi đó:

\(M=n\cdot4^n+3^n=\left(2k+1\right)\cdot4^{2k+1}+3^{2k+1}=4\left(2k+1\right)\cdot16^k+3\cdot9^k\)

Tương tự ta có:

\(M\equiv\left(8k+4\right)\cdot2^k+3\cdot2^k\left(mod7\right)\Rightarrow M\equiv2^k\left(8k+7\right)\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow8k+7⋮7\Rightarrow8k⋮7\Rightarrow k⋮7\Rightarrow k\) có dạng 7p

Khi đó:\(n=2k+1=14p+1\)

Vậy......