TD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
1
26 tháng 4 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :
\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)
tương tự : \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :
\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
DT
1
NT
3 tháng 5 2016
Đặt n = a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)
Xuất phát từ đẳng thức: (cái này bạn tự biến đổi tương đương nhé)
(a+b)(b+c)(c+a) = a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b) - 2abc
=> n = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc
Dễ thấy với a,b,c > 0 thì: tồn tại 1 trong 3 số a+b hoặcb+c hoặc c+a chẵn
=> (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 2 hay n = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc chia hết cho 2
Để n nguyên tố thì chỉ có thể xảy ra n = 2. Nhưng do:
n = a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b) ≥ 1².(1+1) + 1².(1+1) + 1².(1+1) = 6 > 2 nên không thỏa mãn.
Vậy trong a,b,c có ít nhất 1 số bằng 0. Nhưng a,b,c cũng không thể đồng thời bằng 0 và không thể có 2 số bằng 0 (vì khi đó đều dẫn tới n = 0) nên chỉ có thể xảy ra trường hợp: a,b,c có đúng một số bằng 0
Không mất tính tổng quát giả sử: c = 0 thì: n = ab(b+a)
để n nguyên tố thì: ab = 1 hoặc a+b = 1 nhưng a+b ≥ 1+1=2 nên ab = 1 => a = b = 1
Khi đó: n = 1.1.(1+1) = 2 (thỏa)
Kết luận: ta có các cặp số (a,b,c) thỏa mãn bài là (1,1,0) và các hoán vị.
Khi đó n = 2 nguyên tố.
24 tháng 1 2022
Điều kiện đề bài ⇒(2c)2=(a+c)(b+c)⇒(2c)2=(a+c)(b+c). Gọi d=gcd(a+c,b+c)d=gcd(a+c,b+c) thì do a−b=p∈Pa−b=p∈P nên d=1d=1hoặc d=pd=p
Nếu d=1d=1 thì a+c=x2,b+c=y2a+c=x2,b+c=y2 ( xy=2cxy=2c)
⇒p=(x−y)(x+y)⇒p=(x−y)(x+y). p=2p=2 thì vô lý. pp lẻ thì dễ thấy x=p+12=a−b+12x=p+12=a−b+12 và y=a−b−12y=a−b−12
⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2⇒2c=xy=(a−b−1)(a−b+1)4⇒8c+1=(a−b)2 là scp
Nếu d=pd=p thì a+c=pm2,b+c=pn2a+c=pm2,b+c=pn2 ( 2c=pmn2c=pmn)
⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0⇒(m−n)(m+n)=1→m=1,n=0 (loại)
