Question

[Trần Thanh Sơn]

Tìm các cặp số nguyên tố (m,n) sao cho m²+ 2n²-1=0

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Đề đúng : Tìm các cặp số nguyên tố (m,n) sao cho \(m^2-2n^2-1=0\)

Ta có ; \(m^2-2n^2-1=0\Leftrightarrow m^2-1=2n^2\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+1\right)=2n^2\)

Cần chú ý :  vì  \(m,n\ge2>0\)nên m + 1 > m - 1

Vì m,n là các số nguyên tố nên chỉ có các trường hợp :  

• \(\hept{\begin{cases}m-1=1\\m+1=2n^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=2\\n=\sqrt{\frac{3}{2}}\end{cases}}\)(loại)  hoặc \(\hept{\begin{cases}m=2\\n=-\sqrt{\frac{3}{2}}\end{cases}}\)(loại)
• \(\hept{\begin{cases}m+1=2n\\m-1=n\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}}\)(nhận)
• \(\hept{\begin{cases}m+1=n^2\\m-1=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=3\\n=\pm2\end{cases}}\)(nhận n = 2 , loại n = -2)

Vậy : (m,n) = (3;2)