Question

[Lê Vũ Anh Thư]

Tam giác ABC vuông cân tại A có AD là trung tuyến. Trên đoạn thẳng DC lấy điểm H. Hạ BE và CF vuông góc với đường thẳng AH (E, F thuộc đường thẳng AH).

a. CMR: BE = AF.

b. Gọi G là giao điểm của AD và BE. CMR: GH song song với AC.

c. CMR: tam giác DEF vuông cân tại D.

d. CMR: HE > HD.

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tam giác ABE và tam giác CAF có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{CFA}\left(=90^o\right)\)

AB = CA

\(\widehat{BAE}=\widehat{ACF}\)  (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta CAF\)  (Cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BE=AF\)

b) Do tam giác ABC vuông cân nên trung tuyến AD đồng thời là đường cao.

Xét tam giác BAH có BE và AD là các đường cao nên G là trực tâm

Vậy thì \(HG\perp AB\)

Lại có \(AC\perp AB\)  nên GH // AC.

c) Do \(\Delta ABE=\Delta CAF\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CAF}\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DAF}\)

(Cùng bằng hiệu của 45^o trừ đi hai góc trên)

Tam giác ABC vuông cân nê DB = DA = DC

Vậy thì \(\Delta BDE=\Delta ADF\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DE=DF;\widehat{BDE}=\widehat{ADF}\)

\(\Rightarrow\widehat{GDE}=\widehat{HDF}\Rightarrow\widehat{GDH}=\widehat{EDF}\Rightarrow\widehat{EDF}=90^o\)

Suy ra tam giác DEF vuông cân tại D.

d) Ta thấy ngay \(\Delta GDE=\Delta HDF\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow GD=HD\) 

Kẻ GM // EH (M thuộc DH)

Ta có ngay GM < EH

Lại có GD < GM (Quan hệ đường vuông góc đường xiên)

nên DH < HE

Answer 2

[Lê Vũ Anh Thư]

Thanks Hoàng Thị Thu Huyền nhìu nha!!!