Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=u\Rightarrow x^2=1-u^2\Rightarrow xdx=-udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1\left(1-u^2\right).u.\left(-udu\right)=\int\limits^1_0\left(u^2-u^4\right)du=\left(\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5\right)|^1_0\)
\(=\dfrac{2}{15}\)
b.
\(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{x^2-2x+2}=\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\left(x-1\right)^2+1}\)
Đặt \(x-1=tanu\Rightarrow dx=\dfrac{1}{cos^2u}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=0\\x=2\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{tan^2u+1}.\dfrac{1}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{cos^2u}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0du\)
\(=u|^{\dfrac{\pi}{4}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
\(I=\int\dfrac{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)dx}{x+1-x}=\int\sqrt{x+1}dx+\int\sqrt{x}dx\)
Xet \(I_1=\int\sqrt{x+1}dx\)
\(t=x+1\Rightarrow dt=dx\Rightarrow I_1=\int\sqrt{t}.dt=\dfrac{2}{3}\left(x+1\right)^{\dfrac{3}{2}}+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}\left(x+1\right)^{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}+C\)
P/s: Bạn tự thay cận vô ạ
a.
\(\int\limits^{\sqrt{7}}_0\dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx\)
Đặt \(\sqrt[3]{x^2+1}=u\Rightarrow x^2+1=u^3\Rightarrow x^2=u^3-1\Rightarrow x.dx=\dfrac{3}{2}u^2du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=\sqrt{7}\Rightarrow u=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^2_1\dfrac{\left(u^3-1\right).\dfrac{3}{2}u^2du}{u}=\int\limits^2_1\dfrac{3}{2}\left(u^4-u\right)du=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{5}u^5-\dfrac{1}{2}u^2\right)|^2_1\)
\(=\dfrac{141}{20}\)
b.
Đặt \(\sqrt{x+3}=u\Rightarrow x=u^2-3\Rightarrow dx=2udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=2\\x=6\Rightarrow u=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^3_2\dfrac{u+1}{u^2-3+2}.2udu=\int\limits^3_2\dfrac{2udu}{u-1}=\int\limits^3_22\left(1+\dfrac{1}{u-1}\right)du\)
\(=2\left(u+ln\left|u-1\right|\right)|^3_2=2\left(1+ln2\right)\)
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)
\(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)
\(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)
b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)
\(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)
\(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)
Câu 2)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)
Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)
Câu 3:
\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)
Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
\(I=\int\limits^2_1\frac{x\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)}{\left(3x+\sqrt{9x^2-1}\right)\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)}dx=\int\limits^2_1x\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)dx\)
\(=\int\limits^2_13x^2dx-\frac{1}{18}\int\limits^2_1\sqrt{9x^2-1}.d\left(9x^2-1\right)\)
\(=x^3|^2_1-\frac{1}{27}\sqrt{\left(9x^2-1\right)^3}|^2_1=7-\frac{1}{27}\left(35\sqrt{35}-16\sqrt{2}\right)\)
