Question

[tung456]

Gọi z1 và z2 là hai  nghiệm phức của phương trình z²-4z+5=0 trong đó z1 có phần ảo dương .Gía trị của biểu thức (z1-1)²⁰²¹+(z2-1)²⁰²² bằng 

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Theo đề thì $z_1=2+i, z_2=2-i$. Khi đó:
$A=(z_1-1)^{2021}+(z_2-1)^{2022}=(i+1)^{2021}+(1-i)^{2022}$

Ta có:

$(i+1)^2=i^2+1+2i=(-1)+1+2i$

$(1-i)^2=1+i^2-2i=-2i$

$\Rightarrow A=(2i)^{1010}(i+1)+(-2i)^{1011}$
$=2^{1010}.(i^2)^{505}(i+1)+(-2)^{1011}.(i^2)^{505}.i$

$=2^{1010}.(-1)^{505}(i+1)+(-2)^{1011}.(-1)^{505}i$

$=-(i+1).2^{1010}+2^{1011}i$

$=2^{1010}(i-1)$