Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng
Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)
\(=>\hept{\begin{cases}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{cases}}\)
Thay vào ta có :
\(\frac{bx-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)
\(< =>\frac{bak-cbk}{a}=\frac{cak-ack}{b}=\frac{abk-bak}{c}\)
\(< =>\frac{a-c}{a}=0=0\)
Vậy ta cm đc khi c=a
gọi (x, y) là nghiệm của hệ, ta có:
{ ax+by = c
{ bx+cy = a
{ cx+ay = b
cộng 3 ptrình lại vế theo vế: (a+b+c)(x+y) = a+b+c
* a+b+c = 0
* nếu a+b+c # 0, từ trên ta có: x+y = 1 <=> y = 1-x ; thay vào 2 ptrình của hệ:
{ (a-b)x = c-b
{ (b-c)x = a-c
+ nếu a = b, từ ptrình đầu => c-b = 0 => b=c
+ nếu b=c , từ ptrình sau => a-c = 0 => a= c
tóm lại nếu có 2 trong 3 số bằng nhau => a = b = c
+ xét a # b ; b # c từ hệ trên ta có: x = (c-b)/(a-b) = (a-c)/(b-c)
=> (c-b)(b-c) = (a-b)(a-c) <=> -b²-c²+2bc = a²-ab-ac+bc <=> a²+b²+c² = ab+bc+ca
<=> 2a²+2b²+2c² - 2ab-2bc-2ca = 0
<=> (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0 <=> a = b = c
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: a+b+c = 0 hoặc a = b = c
ta có hằng đẳng thức:
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca) (*)
từ điều kiện trên => a³+b³+c³ - 3abc = 0 => đpcm
~~~~~~~~~~~~~~~
(*) có thể chứng minh tường minh như sau:
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b)³ - 3ab(a+b) + c³ - 3abc = (a+b)³+c³ -3ab(a+b+c) =
= (a+b+c)[(a+b)² - (a+b)c + c²] - 3ab(a+b+c)²
= (a+b+c)(a²+b²+2b - ac - bc + c² - 3ab)
= (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca)
~~~~~~~~~~~~~~~
