Question

[Mai Đắc Việt]

giải pt lượng giác :

1.  cos^2 + sinx +1 = 0

2. cosx - cos2x =1/2

3. sinx - căn của 3 cosx = 1 ( căn của mỗi 3 thôi nhé )

Biện luận

1. tìm m để pt [ x^2 -1] = m^4 - m^2 +1 cos 4 nghiem phan biet  ( [ ] la gia tri tuyet doi nhe )

2. giai va bien luan (theo tham so m) bat pt :  (m-1)x +2 / x-2    <  m+1

3. tim m de pt co 4 ngiem phan biet 

(m-1)x^4 - 2(m+2)x^2 + 2m +1 +0

Answer 1

[Loan]

1) <=> 1 - sin²x + sin x + 1 = 0 

<=> - sin²x + sin x = 0 <=> sinx.(1 - sin x) = 0 <=> sin x = 0 hoặc sin x = 1

+) sin x = 0 <=> x = k\(\pi\)

+) sin x = 1 <=> x = \(\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

2) <=> 2cos x - 2(2cos² x - 1) = 1 <=> -4cos² x + 2cos x + 1 = 0 

\(\Delta\)' = 5 => cosx = \(\frac{-1+\sqrt{5}}{-4}\) (Thỏa mãn) hoặc cosx =  \(\frac{-1-\sqrt{5}}{-4}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)(Thỏa mãn)

cosx = \(\frac{-1+\sqrt{5}}{-4}\) <=> x = \(\pm\) arccos \(\frac{-1+\sqrt{5}}{-4}\) + k2\(\pi\)

cosx =  \(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\) <=> x =\(\pm\) arccos \(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\) +  k2\(\pi\)

Vậy....3) chia cả 2 vế cho 2 ta được:\(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\) <=> \(\cos\frac{\pi}{3}\sin x\sin-\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\sin\frac{\pi}{6}\Leftrightarrow\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{6}\)<=> \(x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\) hoặc \(x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\)<=> \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\) hoặc \(x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi\)Vậy.... 

Answer 2

[Loan]

1)  Có: m⁴ - m² + 1 = (m² - \(\frac{1}{2}\))² + \(\frac{3}{4}\) > 0 với mọi m

|x² - 1| = m⁴ - m² + 1   

<=> x² - 1 = m⁴ - m² + 1    (1)  hoặc x² - 1 = - ( m⁴ - m² + 1 )    (2)

Rõ ràng : nếu x₁ là nghiệm của (1) thì x₁ không là nghiệm của (2)

Để pt đã cho 4 nghiệm phân biệt <=> pt (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân  biệt

(1) <=> x² = m⁴ - m² + 2 > 0 với mọi m => (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

(2) <=> x² = - m⁴ + m² . Pt có 2 nghiệm phân biệt <=> m² - m⁴ > 0 <=> m².(1 - m²) > 0 

<=> m \(\ne\) 0 và 1 - m² > 0 

<=> m \(\ne\) 0  và -1 < m < 1

Vậy với  m \(\ne\) 0  và -1 < m < 1 thì pt đã cho có 4 nghiệm pb