Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:
\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)
\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)
Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{3+x}=a\\\sqrt{6-x}=b\end{cases}}\)
Ta có a2 + b2 = 9
a + b - ab = 3
Tới đâu thì bài toán đơn giản rồi nên bạn tự làm nha
bài 2
ta có \(\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2\)\(=\left(A\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;
\(\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\)(đpcm)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
từ dòng cuối là sai rồi bạn à
Bạn bỏ dòng cuối đi còn lại đúng rồi
Ở tử đặt nhân tử chung căn x chung rồi lại đặt căn x +1 chung
Ở mẫu tách 3 căn x ra 2 căn x +căn x rồi đặt nhân tử 2 căn x ra
rút gọn được \(\frac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}+1}\)
ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)
Trước hết ta chứng minh:
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\le3\sqrt{2}\)
Mặt khác điều này hiển nhiên do bất đẳng thức Bunyakovski:
\(VT\le\sqrt{2\left[\left(x+3\right)+\left(6-x\right)\right]}=3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x+3=6-x\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
Mặt khác theo AM-GM:
\(6\sqrt{2x+6}-2x-13=2\sqrt{9\left(2x+6\right)}-2x-13\le\left[9+\left(2x+6\right)\right]-2x-13=2\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=\dfrac{3}{2}.$
Từ đây thu được \(VT\le VP.\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=\dfrac{3}{2}.$
Vậy \(S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\)