Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:
\(t^2-3m.t+m=0\) (1)
Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:
TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)
\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)
TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)
\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)
2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)
Ko tồn tại m thỏa mãn
Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?
Gõ đề có sai không ạ?
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^4\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2x^6-x^4+y^4\\-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1-x^6+x^4-2x^3y^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế HPT2
\(\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=\left(x^3-y^2\right)^2+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^3-y^2\right)^2+1\) (1)
Có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}\le2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^2-y^2\right)^2+1\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) (1) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1\\\left(x^3-y^2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
a, hệ\(\Leftrightarrow\)$\left \{ {{x>\frac{1}{2} } \atop {x<m+2}} \right.$
để hệ có nghiệm ⇒ m+2< $\frac{1}{2}$ ⇒ m<$\frac{-3}{2}$
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)
b.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
c.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)
d.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)
TH2:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)
Vậy \(m=1\)
e.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(x+\sqrt{\left(x+1\right).y}=2y-1\)
\(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)y}-2y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y}\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right.\) (tm)
Thử lại ta có (x;y) = (-1;0) là 1 nghiệm của hệ phương trình
Từ (1) ta có : x + 1 = y
Khi đó \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}=x^2-y\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\end{matrix}\right.\)
Với x = 3 => y = 4 (tm)
Với \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\)
Vì \(x\ge-1\) nên \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\le\dfrac{1}{2}\)
nên \(VT\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
lại có \(VP\ge1\) khi x \(\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi x = -1 => y = 0 (tm)
Vậy (x;y) = (-1;0) ; (3;4)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\\x^2>y\end{matrix}\right.\)
pt đầu \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)y}=2y-x-1\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)y=4y^2+x^2+1+2x-4xy-4y\)
\(\Leftrightarrow x^2+4y^2-5xy+2x-5y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-4y\right)+\left(x-y\right)+\left(x-4y\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x-4y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+1\\x=4y-1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(y=x+1\) thay vào pt thứ hai, ta được
\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\end{matrix}\right.\)
TH1.1: \(x=3\Rightarrow y=x+1=4\) (nhận)
TH1.2:\(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}-x+2=0\) (chỗ này mai mình nghĩ tiếp)
TH2: \(x=4y-1\). Thay vào pt thứ hai, ta được
\(\sqrt{8y+1}+\sqrt{y}=16y^2-9y+1\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{8y+1}-1\right)+\sqrt{y}=16y^2-9y\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8y}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{y}{\sqrt{y}}-16y^2+9y=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\end{matrix}\right.\)
TH2.1: \(y=0\) \(\Rightarrow x=4y-1=-1\) (nhận)
TH2.2: \(\dfrac{8}{\sqrt{8y+1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}-16y+9=0\)
(đoạn này để mai mình nghĩ tiếp nhé, ta tìm được các nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right);\left(3;4\right)\))
ĐKXĐ:...
Từ pt đầu:
\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=x-2y+\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow y^2+1+2y\sqrt{y^2+1}+y^2=2x-4y+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=2x-4y+2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=\sqrt{2x-4y+2}\)
Thế xuống pt dưới:
\(x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{y^2+1}+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}=2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+4}\)
Do hàm \(t+\sqrt{t^2+4}\) đồng biến
\(\Leftrightarrow x-1=2y\Rightarrow x=2y+1\)
Thế vào pt đầu:
\(\left(y+1\right)^2+y\sqrt{y^2+1}=2y+\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow y^2+y\sqrt{y^2+1}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}+y=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y^2+1}=2-y\)
\(\Leftrightarrow...\)
