Question

[Fire Sky]

Giải phương trình nghiệm nguyên:

\(x^2+2y^2+2xy+4x+9y+3=0\) 

Answer 1

[🏴‍☠️star↭boy★vn🏴‍☠️]

x^2 + 2y^2 + 2xy + 4x + 9y + 3 = 0 
<=> x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y + y^2 + 5y - 1 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + y^2 + 5y - 1 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + y^2 + 4y + 4 + y - 5 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + (y + 2)^2 + y + 2 = 7 
để gọn trong việc trình bài ta đặt u = y + 2 (với u nguyên). 
ta có pt: 
(x + u)^2 + u^2 + u = 7 
<=> (x + u)^2 + (u + 1/2)^2 = 7 + 1 / 4 (**) 
từ (**) ta thấy: 0 ≤ (x + u)^2 ≤ 7 + 1 / 4 
vì (x + u) là số nguyên nên (x + u)^2 chỉ có thể nhận các giá trị là: 0, 1, 4. 
*nếu (x + u)^2 = 0 
(**) => (u + 1/2)^2 = 7 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 7 = 0 pt này không có nghiệm nguyên 
*nếu (x + u)^2 = 4 
(**) => (u + 1/2)^2 = 3 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 3 = 0 không có nghiệm nguyên. 
*nếu (x + u)^2 = 1 
(**) => (u + 1/2)^2 = 6 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 6 = 0 
=> u = - 3 hoặc u = 2 
+ với u = -3 => y = - 3 - 2 = - 5 
có: (x - 3)^2 = 1 
=> x - 3 = -1 hoặc x - 3 = 1 
=> x = 2 hoặc x = 4 
+ với u = 2 => y = 0 
có: (x + 2)^2 = 1 => x + 2 = - 1 hoặc x + 2 = 1 
=> x = - 3 hoặc x = -1 
tóm lại pt có các nghiệm nguyên (x, y) là: 
(2, - 5), (4, - 5), (- 3, 0), (-1, 0) 

Thông cảm nha tại tớ làm chi tiết nên bị dài

Answer 2

[ღᏠᎮღ🆃🆄ấ🅽ঔ 🅽🅰🅼ঌ❄๖ۣۜ]

x^2 + 2y^2 + 2xy + 4x + 9y + 3 = 0 
<=> x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y + y^2 + 5y - 1 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + y^2 + 5y - 1 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + y^2 + 4y + 4 + y - 5 = 0 
<=> (x + y + 2)^2 + (y + 2)^2 + y + 2 = 7 
để gọn trong việc trình bài ta đặt u = y + 2 (với u nguyên). 
ta có pt: 
(x + u)^2 + u^2 + u = 7 
<=> (x + u)^2 + (u + 1/2)^2 = 7 + 1 / 4 (**) 
từ (**) ta thấy: 0 ≤ (x + u)^2 ≤ 7 + 1 / 4 
vì (x + u) là số nguyên nên (x + u)^2 chỉ có thể nhận các giá trị là: 0, 1, 4. 
*nếu (x + u)^2 = 0 
(**) => (u + 1/2)^2 = 7 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 7 = 0 pt này không có nghiệm nguyên 
*nếu (x + u)^2 = 4 
(**) => (u + 1/2)^2 = 3 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 3 = 0 không có nghiệm nguyên. 
*nếu (x + u)^2 = 1 
(**) => (u + 1/2)^2 = 6 + 1 / 4 
=> u^2 + u - 6 = 0 
=> u = - 3 hoặc u = 2 
+ với u = -3 => y = - 3 - 2 = - 5 
có: (x - 3)^2 = 1 
=> x - 3 = -1 hoặc x - 3 = 1 
=> x = 2 hoặc x = 4 
+ với u = 2 => y = 0 
có: (x + 2)^2 = 1 => x + 2 = - 1 hoặc x + 2 = 1 
=> x = - 3 hoặc x = -1 
tóm lại pt có các nghiệm nguyên (x, y) là: 
(2, - 5), (4, - 5), (- 3, 0), (-1, 0)