Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=4\\a^2+b^2+c^2=6\\a^4+b^4+c^4=18\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=5\\a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-\left(a^4+b^4+c^4\right)}{2}=9\end{matrix}\right.\)
\(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow abc=2\)
Ta có hệ mới: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=4\\ab+bc+ca=5\\abc=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=4-a\\bc+a\left(b+c\right)=5\\bc=\frac{2}{a}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a\left(4-a\right)+\frac{2}{a}=5\)
\(\Leftrightarrow a^3-4a^2+5a-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-2\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}+\sqrt{2-z}=3\left(1\right)\\\sqrt{8+x}+\sqrt{8+y}+\sqrt{8+z}=9\left(2\right)\end{cases}}\)( ĐKXĐ : -8 < x ; y ; z < 2 )
Áp dụng bđt B.C.S cho pt (1) và (2) ta được :
\(\sqrt{2-x}+\sqrt{2-y}+\sqrt{2-z}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2-x+2-y+2-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\le\sqrt{3\left(6-x-y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\le6-x-y-z\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)(*)
\(\sqrt{8+x}+\sqrt{8+y}+\sqrt{8+z}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(8+x+8+y+8+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow9\le\sqrt{3\left(24+x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow81\le3\left(24+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)(**)
Từ (*) và (**) => x + y + z = 3
<=> x = y = z =1 (Vì x ; y ; z có vai trò như nhau ) ( tm ĐKXĐ )
Vậy x = y = z = 1
P/S : Bài này cứ để ý mấy cái căn có vai trò như nhau là nghĩ ra dùng Bunhiacopxki luôn ^^
Ta có:
\(4\sqrt{8-x}+4\sqrt{8-y}+4\sqrt{8-z}\)
\(\le8-x+4+8-y+4+8-z+4\)
\(=36-x-y-z\)
\(=48-\left(x+4\right)-\left(y+4\right)-\left(z+4\right)\)
\(\le48-4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(=48-4.6=24\)
\(\Rightarrow\sqrt{8-x}+\sqrt{8-y}+\sqrt{8-z}\le6\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=4\)
bạn tham khảo nhé:
Vì \(x,y,z\ge0\)không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)
hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}=6\\3\sqrt{8-x}=6\end{cases}\Leftrightarrow3\sqrt{x}=3\sqrt{8-x}\Leftrightarrow x=4}\)
\(\Rightarrow4\ge y\ge z\)
Nếu \(x=1\)thì \(\sqrt{8-x}=\sqrt{7}\left(L\right)\)
nếu \(x=2\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{2}\left(L\right)\)
\(\)nếu \(x=3\)thì \(\sqrt{x}=\sqrt{3}\left(L\right)\)
Loại vì các số vô tỉ không thẻ nào cộng lại là 1 số nguyên
Vậy \(\left(x;y;z\right)\)là \(\left(4;4;4\right)\)
