K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
21 tháng 11 2021
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{82}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}}+\left(\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{9}}+...+\frac{1}{\sqrt{9}}\right)+...+\left(\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\right)\)
\(>\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}+...+\frac{10}{10}=10\)
HT
0
DP
0
VM
20 tháng 11 2019
b) Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+...+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)
\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=-\sqrt{1}+\sqrt{100}\)
\(=\left(-1\right)+10\)
\(=9.\)
Vì \(9=9.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
HT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 9 2019
Ý bạn là \(18< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\) ?
Ta có:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{2}{2\sqrt{1}}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)
\(\Rightarrow A>\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}\)
\(\Rightarrow A>\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)}{\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\left(\sqrt{101}+\sqrt{100}\right)}\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-2+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{101}-1\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)
Tương tự:
\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{100}}\)
\(\Rightarrow A< 1+\frac{2}{1+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
Nhân liên hợp tử mẫu và rút gọn ta được (giống chứng minh >18 bên trên):
\(A< 1+2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow A< 1+2\left(\sqrt{100}-1\right)=1+18=19\)
\(\Rightarrow18< A< 19\) (đpcm)
LN
0
LB
0
từ 0<1<2<3<...<100 suy ra 0 < căn 1<căn 2<...< căn 100 = 10. suy ra 1/căn 1>1/căn 2>...>1/căn 100( sử dụng quy tắc so ánh 2 phân số cùng tử va mẫu đều dương) . suy ra a> 100 nhân 1/10=10 suy ra 1/căn 1+1/căn 2+...+1/căn 100>10 ( dpcm)