Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)=\(\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
nên \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)\(< 2\left(\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)+...+\left(3\sqrt{2}-2\right)+\left(2-1\right)\right)\) = 2
Tôi cũng là của FC Real Madrid ở Hà Nam.
Chúng mình kết bạn nhé.hihi.
Xét số hạng tổng quát ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài tập, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)
Cách lớp 7 nà:)
\(\frac{1}{n.\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{n.\left(n+1\right).\left(n+1\right)}< \frac{1}{n.n\left(n+1\right)}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) (n>=2_
\(\text{Suy ra }VT< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
Mặt khác ta có công thức \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]}{2}\) (n>= 2)
Suy ra \(VT< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\left(\text{do }\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\right)\)
Vậy ta có đpcm
Gắt chưa??? :>> Dương Bá Gia Bảo