Question

[Le Hong Phuc]

CMR: \(a^p\equiv a\)(mod p) với p là số nguyên tố, a là số nguyên (Định lý nhỏ Fermat)

Answer 1

[thuan doan]

$a^{p-1}\equiv 1\left(modp\right)<=>a^{p-1}-1⋮p<=>a^p-a⋮p$  (1)

*Nếu a là số nguyên dương Ta giả sử  (1) đúng với a=n. Ta có $n^p-n⋮p$

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với a=n+1. Thật vậy:

$(n+1{)}^p-(n+1)=n^p+n^{p-1}+\frac{n(n-1)}{2!}{n}^{p-2}+...+\frac{n(n-1)}{2!}{n}^2+n+1$

Đặt ${\underset{k}{C}}^p=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}$

vì p là số nguyên tố nên $\frac{(p-1)...(p-k+1)}{k!}$  là số nguyên và $n^{p-k}$ cũng là số nguyên nên:

$p(n^{p-1}+\frac{p-1}{2!}.n^{p-2}+...+n)$ là số nguyên chia hết cho p.

Vậy ta có$$(n+1{)}^p-n-1=n^p+pm+1-n-1$$(với m thuộc Z nào đó)

$=n^p-n+pm$ (dễ dàng thấy nó chia hết cho p)

*Nếu a là số nguyên âm.

+ p=2 => đúng

+p lẻ thì đặt $a^p-a=-b^p+b=-(b^p-b)⋮p$ (với b là số nguyên dương, $a=-b$)

Vậy $a^p-a⋮p$ với mọi $a\in Z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 08-07-2014 - 08:48