Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(VT=ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\)
Áp dụng bđt AM-GM có: \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le\left[\dfrac{a+b-c+a-b+c}{2}\right]^2=a^2\)
Tương tự cũng có: \(\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)\le c^2\); \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\)
Nhân vế với vế\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(c+b-a\right)\le abc\) (lđ)
\(\Leftrightarrow3abc+a^3+b^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)\) (BĐT cần chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Khôi Bùi Mysterious Person DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG JakiNatsumi
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Não đặc-.-
Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek
Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)
\(=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r
bất đẳng thức schur bậc 3,dễ mà,c/m cũng dễ nữa,tự tra đi.gợi ý này:giả sử a>b>c nhé
Thử cách của em xem:)
Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\).
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(b-c\right)^2+\left(\frac{c+a-b}{2}\right)\left(c-a\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đặt \(\frac{b+c-a}{2}=S_a;\frac{c+a-b}{2}=S_b;\frac{a+b-c}{2}=S_c\) thì:
\(S_b;S_c\ge0\Rightarrow S_b+S_c\ge0\left(1\right)\). và BĐT trở thành \(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(b-c+a-b\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2+\left(S_c+S_b\right)\left(a-b\right)^2+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
Do \(a\ge b\ge c\)và Sb > 0 nên \(2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\). Theo (1) thì Sb + Sc > 0. Kết hợp với (*), ta cần chứng minh:
\(\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow S_a+S_b\ge0\).
\(\Leftrightarrow\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2}\ge0\Leftrightarrow c\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\text{hoặc }a=b;c=0\text{ và các hoán vị của nó.}\)
Sai thì em chịu nha!
a) (a+b)(b+c)(c+a)\(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=\)8abc(co si 2 so)
b)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)(cosi 3 so)