Question

[Nguyễn Tuấn Minh]

Chứng tỏ rằng \(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\)   chia hết cho 22 với mọi số tự nhiên n

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Chứng minh chia hết cho 2:

Ta có: \(3^{2^{4n+1}}\) là số lẻ và \(5\)là số lẻ nên

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮2\left(1\right)\)

Chứng minh chia hết cho 11: (dùng \(\exists\)làm ký hiệu đồng dư)

Theo Fecma vì 11 là số nguyên tố nên

\(\Rightarrow3^{11-1}=3^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(2\right)\)

Ta lại có: \(2^{4n+1}=2.16^n\exists2\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}=10k+2\)

Kết hợp với (2) ta được

\(\Rightarrow3^{4n+1}=3^{10k+2}=9.3^{10k}\exists9\left(mod11\right)\left(3\right)\)

Tương tự ta có:

\(\Rightarrow2^{11-1}=2^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(4\right)\)

Ta lại có: 

\(3^{4n+1}=3.81^n\exists3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}=10l+3\)

Kết hợp với (4) ta được

\(2^{3^{4n+1}}=2^{10l+3}=8.2^{10l}\exists8\left(mol11\right)\left(5\right)\)

Từ (3) và (5) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)\exists\left(9+8+5\right)\exists22\exists0\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮11\left(6\right)\)

Từ (1) và (6) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮\left(2.11\right)=22\)