Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi
Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)
\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))
Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)
Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)
\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)
Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)
Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chứng minh hoàn tất
Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.
Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)
Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!
Ghi chú: Này, mình mới lớp 6, nên giải chưa biết chắc là đúng hay sai nên lỡ có sai thì bạn đừng trách mình nhé!
Đặt \(A=\frac{x}{y\left(z+1\right)}+\frac{y}{z\left(x+1\right)}+\frac{z}{x\left(y+1\right)}\le\frac{9}{4}\)(Sửa đề)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a,b dương và x + y + z = 1,ta có:
\(\frac{4}{y\left(z+1\right)}=\frac{4}{y\left(z+x+y+z\right)}=\frac{4}{y\left(\left(z+x\right)+\left(z+y\right)\right)}\le\frac{4}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\)
Nhân hai vế với số dương xy, ta được:
\(\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\). Do đó:
\(4A=\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}+\frac{4yz}{z\left(x+1\right)}+\frac{4zx}{x\left(y+1\right)}\)
\(\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+\frac{4yz}{z}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{4zx}{x}\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=4x\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+4y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+4z\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=\frac{4x}{z+x}+\frac{4x}{z+y}+\frac{4y}{x+y}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{y+z}+\frac{4z}{y+z}\)
\(\Rightarrow4A\le\frac{4x+4y}{z+x}+\frac{4y+4z}{z+y}+\frac{4z+4x}{x+y}=x+y+z=9\)
Do : \(4A\le9\)nên \(A< \frac{9}{4}\)
Côsi: \(\sqrt{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)
Tương tự các cái kia.
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(=\frac{x^3}{1+z+y+yz}+\frac{y^3}{1+x+z+xz}+\frac{z^3}{1+y+x+xy}\)
\(=\frac{x^3}{1+x+y+2y}\ge\frac{x}{2}\Rightarrow TổngBPT\ge\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
(Không chắc à nha)
Ta có : \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3x}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{6x-y-z-2}{8}\left(1\right)\)
Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\frac{6y-z-x-2}{8}\left(2\right)\\\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{6z-x-y-2}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)
\(\ge\frac{6x-y-z-2}{8}+\frac{6y-z-x-2}{8}+\frac{6z-x-y-2}{8}\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có : \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3x}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{6x-y-z-2}{8}\left(1\right)\)
Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge\frac{6y-z-x-2}{8}\left(2\right)\\\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{6z-x-y-2}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1) , (2) , (3)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)
\(\ge\frac{6x-y-z-2}{8}+\frac{6y-z-x-2}{8}+\frac{6z-x-y-2}{8}\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}.\frac{1+y}{8}.\frac{1+z}{8}}=\frac{3x}{4}\left(1\right)\\\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}.\frac{1+z}{8}.\frac{1+x}{8}}=\frac{3y}{4}\left(2\right)\\\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}.\frac{1+x}{8}.\frac{1+y}{8}}=\frac{3z}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\)ta được:
\(P+\frac{3+x+y+z}{4}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3+x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\left(1\right)\)
Áp dụng bdt AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)Thay vào (1) ta được:
\(P\ge\frac{2.3-3}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{4}\)Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
BĐT cần chứng minh tương đương với : \(\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}\ge\frac{y\left(x+z\right)}{xz}+\frac{x+z}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{xz}\ge\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\Leftrightarrow y\left(x+z\right)\ge y^2+xz\)
\(\Leftrightarrow y^2-y\left(x+z\right)+xz\le0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\) ( luôn đúng vì \(z\ge y\ge x>0\))
Vậy BĐT đã được chứng minh khi x = y = z
Theo bất đẳng thức Cô-Si, ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) Do vậy áp dụng bất đẳng thức Cô-Si
\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}.\)
a. Ta có \(M=\left(xy\right)^2+\frac{1}{\left(xy\right)^2}+2=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\) Vây giá trị bé nhất của M là \(\frac{289}{16}.\)
b. Theo bất đẳng thức Cô-Si
\(N\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2\cdot\frac{17}{4}+4\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=\frac{25}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(x=y=\frac{1}{2}.\)
