Question

[Nguyễn Tài Long]

Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên tố liên tiếp mà hiệu của chúng lớn hơn 2021

 \(3^x-9y+113=6y^4\)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Xét hai số \(2022!+1\)và \(2022!+2022\). Hai số này có hiệu là \(2021\), ta sẽ chứng minh không tồn tại số nguyên tố nào nằm giữa hai số này. 

Thật vậy, ta có \(2022!+k\)với \(1< k\le2022\)luôn chia hết cho \(k\)mà \(2022!+k>k\)nên số đó không là số nguyên tố. 

Vậy tồn tại hai số nguyên tố liên tiếp mà hiệu của chúng lớn hơn \(2021\). 

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

\(3^x-9y+113=6y^4\)

Với \(x\ge1\)ta có: \(3^x⋮3,9y⋮3,6y^4⋮3,113⋮̸3\)nên phương trình vô nghiệm. 

Với \(x=0\)có: \(6y^4+9y-114=0\)

có nghiệm nguyên duy nhất \(y=2\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(0,2\right)\).