Question

[Thầy Tùng Dương]

Chứng minh rằng: tam giác tạo bởi ba đường thẳng \(\left(d_1\right):y=3x-2;\left(d_2\right):y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3};\left(d_3\right):y=-2x+8\) là tam giác vuông cân.

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

Bây giờ ta sẽ đi tìm tọa độ giao điểm của 3 đường thẳng trên

Với (d₁) và (d₂) cắt nhau tại điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\) nên khi đó:
\(\hept{\begin{cases}y_1=3x_1-2\\y_1=-\frac{1}{3}x_1+\frac{4}{3}\end{cases}}\Rightarrow3x_1-2=-\frac{1}{3}x_1+\frac{4}{3}\Leftrightarrow\frac{10}{3}x_1=\frac{10}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=1\\y_1=1\end{cases}}\)

Vậy \(A\left(1;1\right)\)

Tương tự gọi B,C là giao điểm của đường (d₃) với (d₂) , (d₁) 

Khi đó ta dễ dàng tính được: \(B\left(4;0\right)\) ; \(C\left(2;4\right)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng ta có:
\(AB=\sqrt{\left(1-4\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\sqrt{10}\Rightarrow AB^2=10\)

\(AC=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(1-4\right)^2}=\sqrt{10}\Rightarrow AC^2=10\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(0-4\right)^2}=\sqrt{20}\Rightarrow BC^2=20\)

Xét tam giác ABC có: \(\hept{\begin{cases}AB=AC\\AB^2+AC^2=BC^2\left(=20\right)\end{cases}}\)

=> Tam giác ABC vuông cân tại A

=> đpcm

Answer 2

[Phạm Thị Hồng Duyên]

giao điểm của d1 với d2 là : y=3x-2

                                              y=-1/3x+4/3

                                           <=> 3x -2 =-1/3+4/3

                                                    y=3x-2

                                               <=> x=1

                                                       y=1

vaaky giao điểm của d1 và d2 có tọa độ A(1,1)

tương tự ta được giao điểm của: d2 với d3 có tọa độ B (4,0)

                                                       d3 với d1 có tọa độ C(2,4)

độ dài AB là\(\sqrt{\left(Xa-Xb\right)^2+\left(Ya+Yb\right)^2}\)=\(\sqrt{\left(1-4\right)^2+\left(1-0\right)^2}\)=\(\sqrt{10}\)

tương tư ta được AC= \(\sqrt{10}\)

=> AB=AC ; d1 vuông góc d2 vì 3.(-1/3)=-1

=> tam giác ABC VUÔNG CÂN