Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta_1'=b^2-ac\) ; \(\Delta_2'=c^2-ab\) ; \(\Delta_3'=a^2-bc\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 3 pt nói trên có nghiệm
\(\Delta'_1=b^2-ac\) ; \(\Delta'_2=c^2-ab\); \(\Delta'_3=a^2-bc\)
\(T=\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(T=\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(T=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Luôn phải có ít nhất một trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm hay ít nhất một trong 3 pt có nghiệm
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)
Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)
=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)
=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm
=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm
Trình bày khác cô Chi chút ạ =))
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)
\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm
Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link này nhé!
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web
4c = -( a +2b)
\(\Delta=b^2-4ac=b^2+a\left(a+2b\right)=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\ge0\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử PT đã cho không có nghiệm nào với mọi số thực $a,b,c$.
Điều này tương đương với các PT con
\((1):ax^2+2bx+c=0; (2):bx^2+2cx+a=0;(3): cx^2+2ax+b=0\)không có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_1=b^2-ac< 0\\ \Delta'_2=c^2-ab< 0\\ \Delta'_3=a^2-bc< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b^2-ac+c^2-ab+a^2-bc< 0\)
\(\Leftrightarrow 2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc< 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0\) (vô lý với mọi $a,b,c$ thực)
Vậy điều giả sử là sai. Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$